湖北省孝感市云梦县2019届九年级上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

小明在解方程x²﹣4x﹣7=0时，他是这样求解的：移项，得x²﹣4x=7，两边同时加4，得x²﹣4x+4=11，∴（x﹣2）²=11，∴x﹣2=±，∴x₁=2+，x₂=2﹣，这种解方程的方法称为（　　）

A. 待定系数法    B. 配方法    C. 公式法    D. 因式分解法

2. 难度：中等

下列四个图形中，不是中心对称图形的是　　

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

将二次函数 y=x²的图象先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，可以得到函数（ ）的图象．

A. y=（x﹣1）²+2    B. y=（x﹣1）²﹣2    C. y=（x+1）²+2    D. y=（x+1）²﹣2

4. 难度：简单

关于x的一元二次方程（a﹣1）x²+x+a²﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A. ﹣1    B. 1    C. 1或﹣1    D. 0.5

5. 难度：简单

某药品经过两次降价，每瓶零售价由 156 元降为 118 元．已知两次降价的百分率相同每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（    ）

A. 156（1+x）²=118    B. 156（1﹣x²）=118

C. 156（1﹣2x）=118    D. 156（1﹣x）²=118

6. 难度：简单

已知关于 x 的一元二次方程 x²+mx﹣3=0 一个根为 3，则另一个根为（    ）

A. 1    B. ﹣1    C. 2    D. ﹣6

7. 难度：简单

如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=70°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 70°，B，C 旋转后的对应点分别是 B′和 C′，连接 BB′，则∠B′BC′的度数是（  ）

A. 35°    B. 40°    C. 50°    D. 55°

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，二次函数 y₁=﹣x²+4x 和一次函数 y₂=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x²+4x＞2x 的解集是（ ）

A. x＜0    B. 0＜x＜4    C. 0＜x＜2    D. 2＜x＜4

9. 难度：中等

如图，B，C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E，F两点，与线段AC交于点D．若∠BFC=18°，则∠DBC=（　　）

A. 30°    B. 32°    C. 36°    D. 40°

10. 难度：中等

已知二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列 5 个结论：①4a+2b+c＞0；②abc＜0；③b＜a+c；④3b＞2c；⑤a+b＜m（am+b），（m≠1 的实数）；其中正确结论的个数为（    ）

A. 2 个    B. 3 个    C. 4 个    D. 5 个

二、填空题

11. 难度：简单

已知点A（a，1）与点A（4，b）关于原点对称，则a+b＝_____．

12. 难度：简单

若方程 x²﹣5x﹣1=0 的两根为 x₁，x₂，则 x₁·x₂﹣x₁﹣x₂=___．

13. 难度：简单

抛物线y=x²﹣3x﹣15 与x 轴的一个交点是（m，0），则2m²﹣6m 的值为___．

14. 难度：中等

在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：6，则∠D=      度．

15. 难度：中等

把二次函数y=（x﹣2）²+1的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为_____．

16. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4）…，则三角形（2019）的直角顶点的坐标为_____．

三、解答题

17. 难度：简单

用指定的方法解下列方程：

（1）2x²﹣3x+1=0（配方法）

（2）4x²﹣4 x﹣1=0（公式法）

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为（2，2）请解答下列问题：

(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁，并写出 A₁ 的坐标．

(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A₂B₂C₂，并写出 A₂ 的坐标．

(3)画出△A₂B₂C₂ 关于原点 O 成中心对称的△A₃B₃C₃，并写出 A₃ 的坐标．

19. 难度：中等

如图所示的是水面一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下水面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示，求抛物线的解析式．

20. 难度：简单

已知关于 x 的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m+1）

（1）试证明：无论 m 取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根 x₁，x ₂ 满足，求 m 的值．

21. 难度：中等

如图，已知⊙O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD于点 F，且 CF⊥AD

（1）求证：点 E 是 OB 的中点；

（2）若 AB=12，求 CD 的长．

22. 难度：中等

某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为 14 元/千克，如果售价为 20元/千克，那么每天可售出 260 千克，如果售价为 25 元/千克，那么每天可售出 210 千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价 x（元/千克）之间存在一次函数关系

（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；

（2）若该超市每天要获得利润 1920 元，同时又要让消费者得到实惠，则售价 x应定于多少元？

（3）若樱桃的售价不得高于 28 元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？

23. 难度：困难

（1）问题发现：

如图①，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点 B 在线段AE 上，点 C 在线段AD 上，请直接写出线段 BE 与线段 CD 的数量与位置关系是关系：     ；

（2）操作探究：

如图②，将图①中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），（1）小题中线段 BE 与线段 CD 的关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图②给出的情形进行证明；

（3）解决问题：

将图①中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），若 DE=2AC，在旋转的过程中，当以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形时，在备用图中画出其中的一个情形，并写出此时旋转角α的度数是   度．

24. 难度：困难

如图，抛物线y=﹣x²+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．