北京市东城区2019届九年级（上）期末模拟考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是    （    ）

A. A    B. B    C. C    D. D

2. 难度：简单

如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）

A. 30°    B. 40°    C. 45°    D. 50°

3. 难度：中等

把抛物线y＝﹣2x²向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是(   )

A. y＝﹣2(x+1)²+1 B. y＝﹣2(x﹣1)²+1

C. y＝﹣2(x﹣1)²﹣1 D. y＝﹣2(x+1)²﹣1

4. 难度：中等

若点（﹣2，y₁），（﹣1，y₂），（3，y₃）在双曲线y=（k＜0）上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A. y₁＜y₂＜y₃    B. y₃＜y₂＜y₁    C. y₂＜y₁＜y₃    D. y₃＜y₁＜y₂

5. 难度：简单

已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为（　　）

A. 120°    B. 60°    C. 40°    D. 20°

6. 难度：中等

如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OB∶OB′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(　 　)

A. 4∶9    B. 2∶5    C. 2∶3    D.

7. 难度：中等

在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）²+k（a＜0）的图象可能是（　　）

A.     B.

C.     D.

8. 难度：简单

如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果

下面有三个推断：

①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；

②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；

③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．

其中合理的是（　　）

A. ①    B. ②    C. ①②    D. ①③

二、填空题

9. 难度：中等

如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则sin∠C的值为_____．

10. 难度：中等

若二次函数的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是____．

11. 难度：中等

在如图所示的平面直角坐标系中，△OA₁B₁是边长为2的等边三角形，作△B₂A₂B₁与△OA₁B₁关于点B₁成中心对称，再作△B₂A₃B₃与△B₂A₂B₁关于点B₂成中心对称，如此作下去，则△B₂₀A₂₁B₂₁的顶点A₂₁的坐标是_____．

12. 难度：中等

如图，弦AB⊥直径CD于E，若AB=10，CE=1，则CD=_____．

13. 难度：中等

如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=_____m．

14. 难度：中等

如图，四边形是⊙O的内接四边形，若，则____．

15. 难度：简单

二次函数y＝x²﹣2x﹣5的最小值是______．

16. 难度：中等

以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：（﹣1）²+3tan30°﹣（﹣2）（+2）+2sin60°．

18. 难度：困难

如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB=6，CD=8.

(1)求⊙的半径;

(2)若CF=CG=9，求图中四边形CFGH的面积.

19. 难度：中等

如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=，AD=1，求DB的长．

20. 难度：中等

（阅读学习） 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα=，求sin2α的值．

小娟是这样解决的：

如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα==．

易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB=x．作CD⊥AB于D，求出CD=    （用含x的式子表示），可求得sin2α==    ．

（问题解决）

已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ =，求sin2β的值．

21. 难度：中等

端午节是我国传统佳节.小峰同学带了4个粽子（除粽馅不同外，其它均相同），其中有两个肉馅粽子、一个红枣馅粽子和一个豆沙馅粽子，准备从中任意拿出两个送给他的好朋友小悦.

（1）用树状图或列表的方法列出小悦拿到两个粽子的所有可能结果；

（2）请你计算小悦拿到的两个粽子都是肉馅的概率.

22. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长都是1．

（1）按要求作图：

①以坐标原点O为旋转中心，将△ABC逆时针旋转90°得到△A₁B₁C₁；

②作出△A₁B₁C₁关于原点成中心对称的中心对称图形△A₂B₂C₂．

（2）△A₂B₂C₂中顶点B₂坐标为　   　．

23. 难度：中等

某种蔬菜每千克售价（元）与销售月份之间的关系如图1所示，每千克成本（元）与销售月份之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为（6，1）．

（1）求出与之间满足的函数表达式，并直接写出的取值范围；

（2）求出与之间满足的函数表达式；

（3）设这种蔬菜每千克收益为元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，将取得最大值？并求出此最大值．（收益=售价-成本）

24. 难度：中等

如图，一次函数y=﹣x+的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象交于A，B两点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）在y轴上求一点P，使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标．

25. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC，AC于D，E两点，过点D作⊙O的切线，交AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：EF=CF；

（2）若cos∠ABC=，AB=10，求线段AF的长．

26. 难度：困难

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

27. 难度：中等

已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）求证：CE²=EH•EA；

（3）若⊙O的半径为，sinA=，求BH的长．

28. 难度：困难

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．

线段AB，BC，AC的长分别为______，______，______；

折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，如图2．

请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择______题

A：求线段AD的长；

在y轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

B：求线段DE的长；

在坐标平面内，是否存在点除点B外，使得以点A，P，C为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．