吉林省长春市铁南片区2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

关于的方程是一元二次方程，则（ ）

A. a>0    B. a≠0    C. a=1    D. a≥0

2. 难度：简单

方程 x²＝4x 的解是（   ）

A. x＝4    B. x₁＝0，x₂＝4    C. x＝0    D. x₁＝2，x₂＝﹣2

3. 难度：中等

抛物线y＝(x﹣2)²+3的顶点坐标是(   )

A. (2，3) B. (﹣2，3)

C. (2，﹣3) D. (﹣2，﹣3)

4. 难度：中等

如图，AD∥BE∥CF，直线l₁，l₂与这三条平行线分别交于A，B，C和点D，E，F．若AB=2，BC=4，DE=3，则EF的长为（　　）

A. 5

B. 6

C. 7

D. 9

5. 难度：中等

如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD=30m，在DC的延长线上找一点A，测得AC=5m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB=8m，则池塘的宽DE为（　　）

A. 32m    B. 36m    C. 48m    D. 56m

6. 难度：简单

将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（　）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=-x²+2x+4的图象上．若x₁＜x₂＜1，则y₁与y₂的大小关系是（　　）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

如图，已知二次函数y=（x+1）²﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（　　）

A. ﹣3和5    B. ﹣4和5    C. ﹣4和﹣3    D. ﹣1和5

二、填空题

9. 难度：中等

若a是方程x²﹣5x﹣4=0的根，则a²﹣5a的值为_____．

10. 难度：中等

若关于x的一元二次方程x²+3x+m=0有实数根，则m的取值范围是______．

11. 难度：中等

如图，在边长为6的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=2，则的值为______．

12. 难度：中等

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），对称轴为直线x=2，且过点P（3，0），则a+b+c=______．

13. 难度：中等

如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M、N分别是OA、AB的中点，在射线MN上有一动点P．当AP⊥PB时，点P的坐标是______．

14. 难度：中等

如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则tan∠AOD=________.

三、解答题

15. 难度：中等

解方程：2x²-3x-1=0．

16. 难度：中等

从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点M离墙1m，离地面m．

(1)建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式．

(2)求水的落地点B与点O的距离．

17. 难度：中等

计算：tan60°-cos45°•sin45°+sin30°．

18. 难度：中等

某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元，求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率．

19. 难度：中等

如图，为测量某建筑物AB的高度，在离该建筑物底部20m的点C处，目测建筑物顶端A处，视线与水平线夹角∠ADE为38.5°，目高CD为1.6m．求建筑物AB的高度．（结果精确到1m）（参考数据：sin38.5°=0.623，cos38.5°=0.783，tan38.5°=0.795）

20. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A₁B₁C₁．

（1）△A₁B₁C₁与△ABC的位似比是______．

（2）画出△A₁B₁C₁关于y轴对称的△A₂B₂C₂．

（3）若点B的坐标为（3，1）为△ABC内一点，则依上述两次变换后，点B₂的坐标是______．

21. 难度：中等

已知二次函数y=ax²-4x+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如表：

x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	15	m	n	0	k	…

（1）求这个二次函数的关系式．

（2）直接写出m、n、k之间的大小关系．（用“＞”连接）

（3）若点P在这个二次函数的图象上，且点P到x轴的距离为1，求点P的坐标．

22. 难度：困难

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，则DE的长为　   　．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB=14，∠B=45°，tanA=，点D为AB中点．动点P从点D出发，沿DA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，点P关于点D对称点为点Q，以PQ为边向上作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒．

（1）当t=______秒时，点N落在AC边上．

（2）设正方形PQMN与△ABC重叠部分面积为S，当点N在△ABC内部时，求S关于t的函数关系式．

（3）当矩形PQMN的对角线所在直线将△ABC的分为面积相等的两部分时，直接写出t的值．

24. 难度：中等

在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“亲密点”．即：当x≥0时，点P（x，y）的“亲密点”Q的坐标为（x，y+1）；当x＜0时，点P（x，y）的“亲密点”Q的坐标为（x，-y）．例如：点（1，2）的“亲密点”为点（1，3），点（-1，3）的“亲密点”为点（-1，-3）．

（1）点（2，-3）的“亲密点”为______；______的“亲密点”是（-2，-5）．

（2）点M（m+1，5）是一次函数y=x+3图象上点N的“亲密点”，求点N的坐标．

（3）若点P在函数y=x²-2x-3的图象上．则其“亲密点”Q的纵坐标y′关于x的函数图象大致正确的是______．

（4）若点P在二次函数y=x²-2x-5的图象上，当-2＜x≤a时，其亲密点Q的纵坐标y′满足-5≤y′≤5，请直接写出a的取值范围．