北京师范大学附属中学2019届九年级上学期期中考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，则的值为（    ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

抛物线的顶点坐标是（    ）

A. （1，3）    B. （－1，3）    C. （－1，－3）    D. （1，－3）

3. 难度：简单

如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，AD=1，BD=2，那么的值为（　　）

A. 1：2    B. 2：3    C. 1：4    D. 1：3

4. 难度：中等

将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（    ）

A. 先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B. 先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C. 先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D. 先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

5. 难度：简单

三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示，OA＝20cm，OA′＝50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（    ）

A. 5：2    B. 2：5    C. 4：25    D. 25：4

6. 难度：简单

如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（    ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A，B，对系数和判断正确的是

A.     B.     C.     D.

8. 难度：简单

如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（    ）

A. 4.8    B. 5    C. 5.2    D. 5.5

10. 难度：中等

函数与的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④当时，.其中正确的结论有（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

二、填空题

11. 难度：简单

已知，则＝___________.

12. 难度：简单

点、B）在二次函数的图象上，若，则与的大小关系是__________.（用“＞”、“＜”、“＝”填空）

13. 难度：简单

老师给出一个二次函数，甲、乙两位同学分别指出函数的一个性质：

甲：函数图象顶点在y轴上；

乙：函数有最大值；

老师说两位同学说的都准确，请你根据上述性质写出一个符合条件的二次函数的表达式__________.

14. 难度：中等

如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.

15. 难度：简单

如图，直线和抛物线都经过点，不等式的解集___________.

16. 难度：中等

如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC，则你添加的这一个条件可以是___________（写出一个即可）.

17. 难度：简单

若抛物线与x轴有公共点，则m的取值范围为___________.

18. 难度：简单

函数沿直线翻折所得函数解析式为_____________.

19. 难度：简单

如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则＝__________，若＝1，则＝___________.

20. 难度：中等

如下图，正方形ABCD的边AB在x轴上，A（﹣4，0），B（﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P，使得点P到正方形ABCD四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD的“友好抛物线”．若抛物线y=2x²﹣nx﹣n²﹣1是正方形ABCD的“友好抛物线”，则n的值为_____．

三、解答题

21. 难度：简单

小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.

已知：如图，在△ABC和△中，∠A＝∠，∠B＝∠.

求证：△ABC∽△.

证明：在线段上截取，过点D作DE∥，交于点E.

由此得到△∽△.

∴∠＝∠，

∵∠B＝∠，

∴∠＝∠B，

∵∠＝∠A，

∴△≌△ABC，

∴△ABC∽△.

小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整：

(1)首先，通过作平行线，依据__________，可以判定所作△与_________；

(2)然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△与________；

(3)最后，可证得△ABC∽△.

22. 难度：中等

如图，在△ABC中，D是AB上一点，连接CD，且∠ACD＝∠ABC.

(1)求证：△ACD∽△ABC；

(2)若AD＝6，AB＝10，求AC的长.

23. 难度：简单

如图，点A的坐标为（3，2），点B的坐标为（3，0），作如下操作：

①以点A为旋转中心，将△ABO顺时针方向旋转90°，得到△AB₁O₁；

②以点O为位似中心，将△ABO放大，得到△A₂B₂O，使相似比为1：2，且点A₂在第三象限.

(1)在图中画出△AB₁O₁和△A₂B₂O；

(2)请直接写出点A₂的坐标：___________.

24. 难度：中等

廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图.已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（结果保留根号）

25. 难度：中等

下表是二次函数的部分的对应值：

x	…	－1		0		1		2		3	…
y	…	m		－1		－2		－1		2	…

(1)求函数解析式；

(2)当时，y的取值范围是___________；

(3)当抛物线的顶点在直线的下方时，n的取值范围是__________.

26. 难度：中等

已知，如图△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上的一点，BD＝2.

(1)求证：△ABD∽△CBA；

(2)若DE∥AB交AC于点E，请你补全图形，再找出一个和△ABD相似的三角形，并计算DE的长.

27. 难度：中等

如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF.已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm².

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小明的探究过程，请补充完整：

(1)确定自变量x的取值范围是____________；

(2)通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如下表：

	0	0.5	1	1.6	2	2.5	3	3.5	…
	4.0	3.7		3.9		3.8	3.3	2.0	…

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）

(3)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象：

(4)结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为____cm.