江苏省南京市溧水县2019届九年级上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列函数中是二次函数的是（　　）

A. y=2（x﹣1）    B. y=（x﹣1）²﹣x²    C. y=a（x﹣1）²    D. y=2x²﹣1

2. 难度：中等

若关于x的一元二次方程x²﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（　　）

A. 1    B. ﹣3    C. 3    D. 4

3. 难度：简单

一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（    ）

A. 平均数    B. 众数    C. 中位数    D. 方差

4. 难度：简单

正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（　　）

A. 1    B.     C.     D. 2

5. 难度：简单

如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于点O，S_△DOE：S_△COB＝9：16，则DE：BC为（    ）

A. 2：3    B. 3：4    C. 9：16    D. 1：2

6. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（　　）

A. （5，4）    B. （4，5）    C. （5，3）    D. （3，5）

二、填空题

7. 难度：简单

如果，那么=_____．

8. 难度：中等

如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=    ．

9. 难度：中等

我们定义：关于x的函数y=ax²+bx与y=bx²+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x²+4x与y=4x²+3x是互为交换函数．如果函数y=2x²+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=_____．

10. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=________．

11. 难度：中等

袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个球，恰是黑球的概率为”，则这个袋中白球大约有_____个．

12. 难度：中等

如图，已知圆锥的母线 SA 的长为 4，底面半径 OA 的长为 2，则圆锥的侧面积等于                ．

13. 难度：中等

在Rt△ABC内有边长分别为2，x，3的三个正方形如图摆放，则中间的正方形的边长x的值为_____．

14. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：

①abc＜0；

②b＜a﹣c；

③4a+2b+c＞0；

④2c＜3b；

⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）

⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．

15. 难度：中等

如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__．

16. 难度：中等

在正方形ABCD中，对角线AC上取一点E，连接BE，过B作BE的垂线交CA的延长线于F，垂足为B，将△BEF沿BF翻折得到△BGF，连接GC．若tan∠EFG＝，，则GC＝_____．

三、解答题

17. 难度：中等

用适当的方法解方程：

（1）x²+3x﹣4＝0；

（2）x（x﹣2）+（x﹣2）＝0．

18. 难度：中等

我市2013年体育中考考试方案公布后，同学们将根据自己平的运动成绩确定自己的报考项目，下面是小亮同学近期在两个项目中连续五次测试的（得分情况得分统计表得分折线图）

立定跳远测试日期	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五
得分	7	10	8	9	6

（1）请根据图表信息，分别计算小亮这两个项目测试成绩的平均数和方差；

（2）根据以上信息，你认为在立定跳远和一分钟跳绳这两个项目中，小亮应选择哪个项目作为体育考试的报考项目？并简述理由．

19. 难度：中等

王老师将个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球实验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．

摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率

补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是________（精确到0.01）；

估算袋中白球的个数；

在的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．

20. 难度：困难

【问题探究】

（）如图①，点是正高上的一定点，请在上找一点，使，并说明理由．

（）如图②，点是边长为的正高上的一动点，求的最小值．

【问题解决】

（）如图③，、两地相距， 是笔直第沿东西方向向两边延伸的一条铁路．今计划在铁路线上修一个中转站，再在间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由到再通过公路由到的总运费达到最小值，请确定中转站\的位置，并求出的长．（结果保留根号）

21. 难度：简单

如图，在⊙O中，AD=BC，求证：DC=AB．

22. 难度：中等

如图，长为8m的梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上．当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向左滑动后位于CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18'．求梯子滑动的距离BD．

23. 难度：中等

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】

如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a(x-2)²-4经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=      ，点A的坐标为      ．

【操作】

将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，如图②．直接写出翻折后的这部分抛物线对应的函数解析式：      ．

【探究】

在图②中，翻折后的这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成了一个“W”形状的新图象，则新图象对应的函数y随x的增大而增大时，x的取值范围是      ．

【应用】结合上面的操作与探究，继续思考：

如图③，若抛物线y=(x-h)²-4与x轴交于A，B两点（A在B左），将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，同样，也得到了一个“W”形状的新图象．

（1）求A、B两点的坐标；（用含h的式子表示）

（2）当1＜x＜2时，若新图象的函数值y随x的增大而增大，求h的取值范围．

 

24. 难度：中等

如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．

（1）求证：AD与⊙O相切；

（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．

25. 难度：中等

某种蔬菜每千克售价（元）与销售月份之间的关系如图1所示，每千克成本（元）与销售月份之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为（6，1）．

（1）求出与之间满足的函数表达式，并直接写出的取值范围；

（2）求出与之间满足的函数表达式；

（3）设这种蔬菜每千克收益为元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，将取得最大值？并求出此最大值．（收益=售价-成本）

26. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．

（1）求证：AC²＝AD•AB；

（2）求证：AC²+BC²＝AB²（即证明勾股定理）；

（3）如果AC＝4，BC＝9，求AD：DB的值；

（4）如果AD＝4，DB＝9，求AC：BC的值．

27. 难度：困难

如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E在AC上（且不与点A、C重合），在△ABC的外部作等腰Rt△CED，使∠CED=90°，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．

（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；

（2）如图2，将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，连接AE，求证：AF=AE；

（3）如图3，将△CED绕点C继续逆时针旋转，当平行四边形ABFD为菱形，且△CED在△ABC的下方时，若AB=2，CE=2，求线段AE的长．