人教版数学九年级（上）第22章二次函数压轴题专项训练

一、解答题

1. 难度：困难

如图1，抛物线C₁：y＝ax²+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C₁向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C₂，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C₂于点B，抛物线C₂的顶点为P．

(1)求抛物线C₁的解析式；

(2)如图2，连结AP，过点B作BC⊥AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，

①当点Q运动到什么位置时，S_△PBD×S_△BCF＝8？

②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．

2. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+6．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为线段BC上方抛物线上的任意一点，连接MB，MC，点N为抛物线对称轴上任意一点，当M到直线BC的距离最大时，求点M的坐标及MN+NB的最小值；

(3)在(2)中，点M到直线BC的距离最大时，连接OM交BC于点E，将原抛物线沿射线OM平移，平移后的抛物线记为y′，当y′经过点M时，它的对称轴与x轴的交点记为H．将△BOE绕点B逆时针旋转60°至△BO₁E₁，再将△BO₁E₁沿着直线O₁H平移，得到△B₁O₂E₂，在平面内是否存在点F，使以点C，H，B₁，F为顶点的四边形是以B₁H为边的菱形．若存在，直接写出点B₁的横坐标；若不存在，请说明理由．

3. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x²+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．

(1)求线段AC的长度；

(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；

(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．

4. 难度：中等

如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x²+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．

(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）

(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x²+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最小值；

(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．

5. 难度：困难

如图，抛物线y＝ax²+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD．OD交BC于点F，当S_△COF：S_△CDF＝3：2时，求点D的坐标．

(3)如图2，点E的坐标为（0，），点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 难度：困难

如图，抛物线y＝ax²+3x+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；

（3）在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

7. 难度：困难

如图，顶点为D的抛物线y＝﹣x²+x+4与y轴交于点A，与x轴交于两点B、C（点B在点C的左边），点A与点E关于抛物线的对称轴对称，点B、E在直线y＝kx+b（k，b为常数）上．

(1)求k，b的值；

(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点，过点P作AE的垂线交AE于点F，点G为y轴上任意一点，当△PBE的面积最大时，求PF+FG+OG的最小值；

(3)在(2)中，当PF+FG+OG取得最小值时，将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF₁G₁，过点G₁作AE的垂线与AE交于点M．点D向上平移个单位长度后能与点N重合，点Q为直线DN上任意一点，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形？若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y＝x²+bx+c经过B点，且顶点在直线y＝上．

(1)求抛物线对应的函数关系式；

(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由．

(3)在(2)的条件下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求s取大值时，点M的坐标．

9. 难度：困难

已知抛物线L：y＝x²+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；

（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

10. 难度：困难

在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A（﹣1，0），B（4，0），C

（0，﹣4）三点，点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点．

（1）    求这个二次函数的解析式；

（2）    是否存在点 P，使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由；

（3）    在抛物线上是否存在点 D（与点 A 不重合）使得 S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+2x+c与x轴交A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为点E．

(1)求抛物线的解析式；

(2)经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求△PCD的面积；

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

12. 难度：困难

如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y＝﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求PE的长最大时m的值．

(3)Q是平面直角坐标系内一点，在(2)的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13. 难度：困难

已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点的坐标分别为A （0，2），B（﹣1，0），点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）、经过点D．

(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣1．

①求点D的坐标及该抛物线的解析式；

②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．

(2)如图2，若该抛物线y＝ax²+bx+c（a＜0）经过点E（﹣1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余，若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围　   　．

14. 难度：困难

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），抛物线顶点为D点．

(1)求此抛物线解析式；

(2)如图1，点P为抛物线上的一个动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，PA交对称轴于点E，如图2，过E点的任一条直线与抛物线交于M，N两点，直线MD交直线y＝﹣3于点F，连结NF，求证：NF∥y轴．

15. 难度：中等

已知，抛物线y＝ax²+2ax+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当a＞0时，如图所示，若点D是第三象限方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，三角形ADC的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．