辽宁省大连市沙河口区2019届九年级上学期期末模拟考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线y＝3（x﹣2）²+5的顶点坐标是（　　）

A. （﹣2，5）    B. （﹣2，﹣5）    C. （2，5）    D. （2，﹣5）

2. 难度：中等

正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）

A. 36°    B. 54°    C. 72°    D. 108°

3. 难度：中等

如图，点A、B、C在圆O上，若∠OBC=40°，则∠A的度数为（　　）

A. 40°    B. 45°    C. 50°    D. 55°

4. 难度：中等

小亮是一名职业足球队员，根据以往比赛数据统计，小亮进球率为10%，他明天将参加一场比赛，下面几种说法正确的是（　　）

A. 小亮明天的进球率为10%

B. 小亮明天每射球10次必进球1次

C. 小亮明天有可能进球

D. 小亮明天肯定进球

5. 难度：简单

已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（　　）

A. 相离    B. 相切

C. 相交    D. 相离、相切、相交都有可能

6. 难度：中等

用配方法解方程x²+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是(    )

A. (x﹣1)²＝2 B. (x﹣1)²＝4

C. (x+1)²＝2 D. (x+1)²＝4

7. 难度：中等

已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的面积与△DEF的面积和为40，则△ABC的面积为（　　）

A. 36    B. 30    C. 10    D. 4

8. 难度：中等

（3分）如图是二次函数图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x=1，下列结论正确的是（ ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

9. 难度：简单

一元二次方程x²﹣x=0的根是_____．

10. 难度：中等

把拋物线y=2x²﹣4x+3向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为_________．

11. 难度：中等

如果关于x的一元二次方程x²+2x﹣a=0没有实数根，那么a的取值范围是__．

12. 难度：中等

将一个圆分割成三个扇形，各扇形的面积比为2：3：5，则三个扇形圆心角的度数分别是_____．

13. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD交于点F，S_△DEF：S_△ABF=4：25，则DE：EC=      ．

14. 难度：中等

已知抛物线y＝﹣x²﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为________.

15. 难度：中等

从﹣2，﹣1，1，2四个数中，随机抽取两个数相乘，积为大于﹣4小于2的概率是__．

16. 难度：中等

如图，已知：等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，E为边AB上任意一点，以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①∠BCE＝∠AED；②△AED∽△ECB；③AD∥BC；④四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为．其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

根据要求，解答下列问题：

（1）①方程x²﹣x﹣2=0的解为　   　；

②方程x²﹣2x﹣3=0的解为　   　；

③方程x²﹣3x﹣4=0的解为　   　；

…

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程x²﹣9x﹣10=0的解为　   　；

②请用配方法解方程x²﹣9x﹣10=0，以验证猜想结论的正确性．

（3）应用：关于x的方程　   　的解为x₁=﹣1，x₂=n+1．

18. 难度：中等

已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²－10x＋16＝0的两个根，且A点坐标为（－6，0）．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

19. 难度：简单

如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，如果AC=3，AB=6，求BD的值．

20. 难度：中等

在一个不透明的口袋里装有2个红球、1个黑球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，请你用画树状图或列表法的方法，求摸到的两个球是一黑一白的概率．

21. 难度：中等

一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；   

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22. 难度：中等

某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

23. 难度：困难

已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．

（1）如图1，求证：KE＝GE；

（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sinE＝，AK＝，求CN的长．

24. 难度：中等

等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝12，点M为BC中点，含45°的直角三角板的锐角顶点与M重合，当三角板绕点M旋转时，三角板与两直角边交于点P、Q．P、Q分别在AB、AC边上，设BP＝x，CQ＝y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）写出x的取值范围．

25. 难度：困难

阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．

任务：

（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为　   　；

（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为　   　；

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．

请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择　   　题．

A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝　   　（用含b的式子表示）；

②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝　   　（用含n，b的式子表示）；

B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝　   　（用含b的式子表示）；

②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝　   　（用含m，n，b的式子表示）．

26. 难度：困难

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．