人教版数学九年级（上）第24章 圆 解答题培优试卷

一、解答题

1. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）若AB＝4，∠ABP＝60°，求PB的长；

（2）若CD是⊙O的切线．求证：D是AP的中点．

2. 难度：中等

如图，点ABCD在⊙O上，∠ABC＝∠BDC＝60°，BC＝3．

（1）求△ABC的周长；

（2）若OE⊥BD，OF⊥CD，连接EF，求EF的长．

3. 难度：困难

如图，△PAB内接于⊙O，▱ABCD的边AD是⊙O的直径，且∠C＝∠APB，连接BD．

（1）求证：BC是⊙O的切线．

（2）若BC＝2，∠PBD＝60°，求与弦AP围成的阴影部分的面积．

4. 难度：困难

如图，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中点，CA与⊙O相切于点E，CO交⊙O于点D

（1）求证：CB是⊙O的切线；

（2）若∠ACB＝80°，点P是⊙O上一个动点（不与D，E两点重合），求∠DPE的度数．

5. 难度：中等

如图，在钝角△ABC中，∠C=45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x²﹣9x+18=0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．

求：（1）⊙O的半径；

   （2）BE的长．

6. 难度：困难

如图，在△ABC中，BC＝AC＝6，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．

（1）求证：点D是AB的中点；

（2）求点O到直线DE的距离．

7. 难度：中等

如图，△OAB中，OA＝OB＝10cm，∠AOB＝80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧 分别交OA，OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP＝BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．

8. 难度：简单

如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE＝DB；

（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

9. 难度：中等

如图，已知锐角△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．

（1）求证：∠ACB+∠BAD＝90°；

（2）过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC＝2∠ACB．求证：AC＝2DE．

10. 难度：中等

《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）

阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．

再次阅读后，发现AB= 寸，CD= 寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．

11. 难度：中等

如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上一点，∠EAB＝∠ADB．

（1）求证：EA是⊙O的切线；

（2）已知点B是EF的中点，AF＝4，CF＝2，求AE的长．

12. 难度：困难

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若DF＝2，DC＝6，求BE的长．

13. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝10，AC＝6，求DE的长．

14. 难度：简单

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA＝PB，延长BO分别与⊙O、切线PA相交于C、Q两点．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．

15. 难度：困难

如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．

（1）求证：PC＝PD；

（2）若AC＝6cm，BC＝8cm，求线段AE、CE的长．

16. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O切AC于点E，连接DE并延长，交BC的延长线于点F．

（1）求证：△BDF是等边三角形；

（2）连接AF、DC，若BC＝3，写出求四边形AFCD面积的思路．