辽宁省鞍山市台安县2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

方程 x²＝4x 的解是（   ）

A. x＝4    B. x₁＝0，x₂＝4    C. x＝0    D. x₁＝2，x₂＝﹣2

2. 难度：中等

若关于 x 的方程 x²+mx+1＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的值可以是（     ）

A. 0    B. ﹣1    C. 2    D. ﹣3

3. 难度：简单

将如图所示的抛物线向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度后， 得到的抛物线解析式是（      ）

A. y＝（x﹣1）²+1    B. y＝（x+1）²+1    C. y＝2（x﹣1）²+1    D. y＝2（x+1）²+1

4. 难度：简单

如图，在△ABC 中，∠B＝40°，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转至在△ADE 处，使点 B 落在 BC 的延长线上的 D 点处，则∠BDE＝（      ）

A. 90°    B. 85°    C. 80°    D. 40°

5. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转 90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（    ）

A. （0，0）    B. （1，0）    C. （1，﹣1）    D. （2.5，0.5）

6. 难度：中等

如图，，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（     ）

A．　　  B．或    　　C．　　   D． 或

7. 难度：简单

如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为（ ）

A. 68° B. 88° C. 90° D. 112°

8. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：

①b²=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

二、填空题

9. 难度：中等

若方程（m﹣1）x^|m+1|+7x﹣3＝0 是关于 x 的一元二次方程，别 m＝_________．

10. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点M（3，﹣1）关于原点的对称点的坐标是     ．

11. 难度：简单

二次函数y＝2(x－3)²－4的最小值为________．

12. 难度：简单

若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．

13. 难度：简单

关于 x 的方程 x²+5x+m＝0 的一个根为﹣2，则另一个根是________ ．

14. 难度：中等

将含有 30°角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中，OB 在 x轴上，若 OA＝2，将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75°，则点 A 的对应点 A′ 的坐标为___________．

15. 难度：简单

如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝　▲　°．

16. 难度：中等

如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为_________．

三、解答题

17. 难度：中等

用适当方法解方程：（x﹣3）（x+1）＝x﹣3.

18. 难度：中等

已知关于 x 的一元二次方程 x²﹣（m﹣3）x﹣m＝0

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)如果方程的两实根为 x₁、x₂，且 x₁²+x ₂²﹣x₁x₂＝7，求 m 的值．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A的坐标为（2，2）请解答下列问题：

(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A₁B₁C₁，并写出 A₁ 的坐标．

(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A₂B₂C₂，并写出 A₂ 的坐标．

(3)画出△A₂B₂C₂ 关于原点 O 成中心对称的△A₃B₃C₃，并写出 A₃ 的坐标．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（4，0），点 B（0，3），把△ABO 绕点 B 逆时针旋转，得△A′BO′，点 A、O 旋转后的对应点为 A′、O′，记旋转角为ɑ．

(1)如图 1，若ɑ＝90°，求 AA′的长；

(2)如图 2，若ɑ＝120°，求点 O′的坐标．

21. 难度：中等

在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A（1，﹣4），且过点 B（3，0）．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

23. 难度：中等

为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．

24. 难度：中等

某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：

信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系。

当x＝1时，ｙ＝1.4；当x＝3时，ｙ＝3.6。

信息2：销售B种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系。

根据以上信息，解答下列问题：

（1）求二次函数解析式；

（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？

25. 难度：困难

如图，在正方形 ABCD 中，E 为直线 AB 上的动点（不与 A、B 重合），作射线 DE 并绕点 D 逆时针旋转 45°，交直线 BC 于点 F，连接 EF．

探究：当点 E 在边 AB 上，求证：EF＝AE+CF．

应用：(1)当点 E 在边 AB 上，且 AD＝2 时，求△BEF 的周长；

(2)当点 E 在 BA 延长线上时，判断 EF，AE，CF 三者的数量关系，并说明理由．

26. 难度：困难

抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．

（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；

（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．