福建省龙岩市连城县2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

方程x²﹣3＝0的根是（　　）

A.     B. ﹣    C. ±    D. 3

2. 难度：中等

将一元二次方程x²﹣4x﹣7＝0配方，所得的方程是（　　）

A. （x﹣2）²＝11    B. （x﹣2）²＝3    C. （x+2）²＝11    D. （x+2）²＝3

3. 难度：中等

一元二次方程2x²﹣5x﹣2＝0的根的情况是（　　）

A. 有两个相等的实数根    B. 有两个不相等的实数根

C. 只有一个实数根    D. 没有实数根

4. 难度：简单

抛物线y＝2x²+4x﹣3的顶点坐标是（　　）

A. （1，﹣5）    B. （﹣1，﹣5）    C. （﹣1，﹣4）    D. （﹣2，﹣7）

5. 难度：中等

满足函数y＝x﹣1与y＝﹣的图象为（　　）

A.     B.

C.     D.

6. 难度：简单

下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A. 等边三角形    B. 平行四边形    C. 正五边形    D. 圆

7. 难度：中等

过⊙O内一点P的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OP的长为（　　）

A. 9    B.     C. 6    D. 3

8. 难度：中等

已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A. 2cm    B. 4 cm    C. 2cm或4cm    D. 2cm或4cm

9. 难度：简单

如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC＝50⁰，则∠DAB等于

A．55°      B．60°      C．65°      D．70°

10. 难度：中等

要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间要比赛两场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排8场比赛，若设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）

A. x（x+1）＝56    B. x（x﹣1）＝56

C. x（x+1）＝56    D. x（x﹣1）＝56

二、填空题

11. 难度：中等

已知α，β是方程x²﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α²+αβ﹣3α的值为_____．

12. 难度：中等

若m是方程2x²﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m²﹣9m+2016的值为_____．

13. 难度：中等

已知直线y＝x+2上有一点P（5，n），则点P关于原点的对称点P₁的坐标为_____．

14. 难度：简单

如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____．

15. 难度：中等

如图，在边长为1的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的点_______．

16. 难度：困难

平面直角坐标系下，一组有规律的点A₁（0，1）、A₂（1，0）、A₃（2，1）、A₄（3，0）、A₅（4，1）、A₆（5，0）…（注：当n为奇数时，A_n（n﹣1，1），n为偶数时，A_n（n﹣1，0）），抛物线C₁经过点A₁、A₂、A₃三点，…抛物线C_n经过C_n，C_n+1，C_n+2三点，请写出抛物线C_2n的解析式_____．

三、解答题

17. 难度：中等

解关于x的一元二次方程：x²﹣2x＝4．

18. 难度：简单

已知抛物线y=ax²+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．

19. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m﹣2）x+（m²﹣2m）＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为x₁，x₂，且x₁²+x₂²＝10，求m的值．

20. 难度：中等

如图AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，画出△ABC的三条高的交点；

（2）在图2中，画出△ABC中AB边上的高．

21. 难度：中等

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，求弦DC的长．

22. 难度：中等

阅读下面的例题：

例：解方程x²﹣2|x|﹣3＝0

【解析】
（1）当x≥0时，原方程可化为x²﹣2x﹣3＝0，

解得x₁＝﹣1（舍去），x₂＝3

（2）当x＜0时，原方程可化为x²+2x﹣3＝0，解得x₁＝1（舍去），x₂＝﹣3．

综上所述，原方程的根是x₁＝3，x₂＝﹣3．

解答问题：

（1）如果我们将原方程化为|x|²﹣2|x|﹣3＝0求解可以吗？请你大胆试一下写出求解过程．

（2）依照题目给出的例题解法，解方程x²+2|x﹣2|﹣4＝0

23. 难度：困难

某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元/件）符合一次函数y＝kx+b，且x＝70时，y＝50；x＝80时，y＝40；

（1）求出一次函数y＝kx+b的解析式

（2）若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？

24. 难度：困难

（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．

要直接求∠A的度数显然很因难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内，如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．

∴　   　＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°

∵△ABC是等边三角形

∴AC＝AB，∠BAC＝60°

∴∠BAP＝　   　

∴△ABP≌△ACD

∴BP＝CD＝4，　   　＝∠ADC

∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD²+CD²＝PC²

∴∠PDC＝　   　°

∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°

（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．

25. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．

（1）求点D的坐标；

（2）求证：△ADE≌△BCD；

（3）抛物线y＝x²﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．