四川省内江市县2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

计算的结果是（   ）

A. 3    B. ﹣3    C. ±3    D.

2. 难度：简单

下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　）

A. 3﹣π    B. a    C. a²+1    D. 2x+4

3. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程3x²+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）

A. 方程有两个相等的实数根

B. 方程有两个不相等的实数根

C. 没有实数根

D. 无法确定

4. 难度：中等

计算的结果为（    ）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 16

5. 难度：简单

（2018•徐汇区一模）在比例尺是1：40000的地图上，若某条道路长约为5 cm，则它的实际长度约为（    ）

A. 0.2 km    B. 2 km    C. 20 km    D. 200 km

6. 难度：中等

若矩形的长和宽是方程x²－7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（    ）

A. 5    B. 7    C. 8    D. 10

7. 难度：中等

如果+ax+1 是一个完全平方公式，那么a的值是（ ）

 A．2        B．－2          C．±2         D．±1

8. 难度：中等

若2﹣是方程x²﹣4x+c=0的一个根，则c的值是（　　）

A. 1    B. 3-    C. 1+    D. 2+

9. 难度：中等

已知+=0，则的值为（　　）

A. 1    B.     C.     D.

10. 难度：中等

如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm²，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）

A. 10×6﹣4×6x=32    B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32

C. （10﹣x）（6﹣x）=32    D. 10×6﹣4x²=32

11. 难度：中等

定义：如果一元二次方程ax²+bx+c=o（a≠0）满足a﹣b+c=0，那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）是“蝴蝶”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是（　　）

A. b=c    B. a=b    C. a=c    D. a=b=c

12. 难度：中等

欧几里得的《原本》记载，形如的方程的图解法是：画，使，，，再在斜边上截取.则该方程的一个正根是（   ）

A. 的长    B. 的长    C. 的长    D. 的长

二、填空题

13. 难度：简单

若，则___________.

14. 难度：简单

若关于x的一元二次方程x²+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为_____．

15. 难度：中等

若x=-1，则x²+2x+1=_____．

16. 难度：中等

对于任意实数a、b，定义：a◆b=a²+ab+b²．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m²+n²=　   　．

三、解答题

17. 难度：中等

计算下列各题：

（1）÷×；

（2）（﹣1）²+；

（3）（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）⁰．

18. 难度：中等

用指定的方法解下列一元二次方程：

（1）x²﹣2x﹣2＝0（公式法）；

（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）（因式分解法）；

（3）2x²﹣4x+1＝0（配方法）

19. 难度：中等

已知线段a＝0.3m，b＝60cm，c＝12dm．

（1）求线段a与线段b的比．

（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．

（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？

20. 难度：中等

某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+m²﹣2=0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x₁，x₂，且（x₁﹣x₂）²+m²=21，求m的值．

四、填空题

22. 难度：中等

如果，那么＝_____．

23. 难度：中等

如果恰好只有一个实数 a 是方程（k²﹣9）x²﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值__________．

24. 难度：中等

若 a、b、c 是实数，且 a＝2b+，ab+=0，那么的值为______．

25. 难度：困难

已知关于x的方程x²＋2kx＋k²＋k＋3＝0的两根分别是x₁，x₂，则(x₁－1)²＋(x₂－1)²的最小值是________．

五、解答题

26. 难度：中等

能力拓展： A₁：； A₂：； A₃：；A4：；…；写出A_n：．

（1）请观察 A₁，A₂，A₃的规律，按照规律写出A_n：；

（2）请比较下列代数式的大小：

①和 ； ②和 ；

（3）请直接写出与 的大小关系．

27. 难度：中等

如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是，求△ABC面积．

28. 难度：中等

我们在解决数学问题时，经常采用“转化”（或“化归”）的思想方法，即把待解决的问题，通过转化归结到一类已解决或比较容易解决的问题．

譬如，求解一元二次方程，通常把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，通常把它转化为整式方程来解，只是因为分式方程“去分母”时可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

请你运用上述把“未知”转化为“已知”的数学思想，解决下列问题．

（1）解方程：x³+x²﹣2x＝0；

（2）解方程：＝x；

（3）如图，已知矩形草坪 ABCD 的长 AD＝8m，宽 AB＝3m，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA、AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C．求 AP 的长．