广东省汕头市潮南区两英镇2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列方程为一元二次方程的是（　　）

A. x﹣2＝0    B. x²﹣2x﹣3    C. x²﹣4x﹣1＝0    D. xy+1＝0

2. 难度：简单

以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

用配方法解方程x²﹣2x﹣1=0，原方程应变形为（　　）

A. （x﹣1）²=2    B. （x+1）²=2    C. （x﹣1）²=1    D. （x+1）²=1

4. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（  ）

A. m＞1    B. m＜1    C. m≥1    D. m≤1

5. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠CC′B′=33°，则∠B的大小是(　　)

A. 33°    B. 45°    C. 57°    D. 78°

6. 难度：简单

二次函数y＝﹣（x﹣2）²+5图象的顶点坐标是（　　）

A. （﹣2，5）    B. （2，5）    C. （﹣2，﹣5）    D. （2，﹣5）

7. 难度：中等

已知点P关于x轴的对称点P₁的坐标是（2，3），那么点P关于原点的对称点P₂的坐标是（　　）

A. （﹣3，﹣2）    B. （2，﹣3）    C. （﹣2，﹣3）    D. （﹣2，3）

二、填空题

8. 难度：中等

已知三角形的两边长是方程x²﹣5x+6＝0的两个根，则该三角形的周长L的取值范围是（　　）

A. 1＜L＜5    B. 2＜L＜6    C. 5＜L＜9    D. 6＜L＜10

三、单选题

9. 难度：简单

若二次函数y=x²+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x²+mx=7的解为（　　）

A. x₁=0，x₂=6    B. x₁=1，x₂=7    C. x₁=1，x₂=﹣7    D. x₁=﹣1，x₂=7

10. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（　　）

A. c＜0

B. y的最小值为负值

C. 当x＞1时，y随x的增大而减小

D. x＝3是关于x的方程ax²+bx+c＝0的一个根

四、填空题

11. 难度：简单

一元二次方程x²﹣1＝3的根为_____．

12. 难度：中等

抛物线与轴没有交点，则的取值范围是_____．

13. 难度：简单

已知方程x²+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是______．

14. 难度：中等

若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是_____．

15. 难度：中等

已知抛物线y＝ax²﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1＝_____．

16. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长为_____．

五、解答题

17. 难度：中等

解方程：（x﹣1）²+2x（x﹣1）＝0．

18. 难度：中等

如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图：

（1）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A₁B₁C₁；

（2）作出以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB₂C₂．

19. 难度：中等

若抛物线的顶点为（1，﹣），且经过点（﹣2，0），求该抛物线的解析式．

20. 难度：中等

为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2013年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．求每年市政府投资的增长率？

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²﹣（2m+1）x+m（m+1）＝0．

（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC＝8，当△ABC为等腰三角形时，求m的值．

22. 难度：中等

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元并且不得低于50元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，库存少而获利最大？每个月最大的利润是多少元？

23. 难度：中等

用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．

（1）在第n个图中，白棋共有　   　枚，黑棋共有　   　枚；

（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；

（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．

24. 难度：困难

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．

（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB     EC．（填“＞”，“＜”或“=”）

（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

25. 难度：困难

如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）点P是抛物线y＝﹣x²+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；

（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x²+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．