1. 难度:困难 | |
如图抛物线y=ax2+2交x轴于点A(﹣2,0)、B,交y轴于点C; (1)求抛物线的解析式; (2)点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向终点B运动,同时点Q从点C出发,以相同的速度沿y轴正方向向上运动,运动的时间为t秒,当点P到达点B时,点Q也停止运动,设△PQC的面积为S,求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围; (3)在(2)的条件下,当点P在线段OB上时,设PQ交直线AC于点G,过P作PE⊥AC于点E,求EG的长.
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2. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0)和点B(4,3). (1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式. (2)直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标. (3)直接在所给坐标平面内画出这条抛物线.
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3. 难度:中等 | |
某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系y=mx2+20x+n,其图象如图所示. (1)m=_____,n=_____. (2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (3)该种商品每天的销售利润不低于16元时,直接写出x的取值范围.
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4. 难度:困难 | |
童装店销售某款童装,每件售价为 60 元,每星期可卖 100 件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价 1 元,每星期可多卖 10 件,已知该款童装每件成本 30 元,设降价后该款童装每件售价 x 元,每星期的销售量为 y 件, (1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的 3 倍时,求这一星期中每件童装降价多少元? (2)当每件售价定为多少元时 ,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?
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5. 难度:中等 | |
某商场经调研得出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx﹣75,其图象如图所示. (1)求a与b的值; (2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值) (3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于21元?
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6. 难度:困难 | |
如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣1.动点P在抛物线上运动(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线,交直线AB于点Q,当PQ不与y轴重合时,以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧,连结PM.设点P的横坐标为m. (1)求b、c的值. (2)当点N落在直线AB上时,直接写出m的取值范围. (3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时,设正方形PQMN周长为c,求c与m之间的函数关系式,并写出c随m增大而增大时m的取值范围. (4)当△PQM与y轴只有1个公共点时,直接写出m的值.
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7. 难度:中等 | |
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示. (1)确定二次函数的解析式; (2)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
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8. 难度:中等 | |
某汽车厂决定把一块长100m、宽60m的矩形空地建成停车场.设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为停车位,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于28m,不大于52m.设绿化区较长边为xm,停车场的面积为ym2 (1)直接写出: ①用x的式子表示出口的宽度为_____. ②y与x的函数关系式及x的取值范围. (2)求停车场的面积y的最大值. (3)预计停车场造价为100元/m2,绿化区造价为50元/m2.如果汽车厂投资不得超过540000元建造,当x为整数时,共有几种建造方案?
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9. 难度:中等 | |
如图,正方形ABCD的边长为8,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE=BF=CG=DH. (1)判断四边形EFGH的形状.(直接写结论,不必证明) (2)设BE=x,四边形EFGH的面积为S,请真接写出S与x的数解析式,并求出S的最小值.
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10. 难度:困难 | |
如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),顶点为C. (1)求A,B两点的坐标; (2)若将该抛物线向上平移t个单位后,它与x轴恰好只有一个交点,求t的值.
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11. 难度:困难 | |
抛物线的顶点为(1,﹣4),与x轴交于A、B两点,与y轴负半轴交于C(0,﹣3). (1)求抛物线的解析式; (2)点P为对称轴右侧抛物线上一点,以BP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M落在对称轴上,求P点的坐标.
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12. 难度:困难 | |
如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时,隧道最高点D距离地面10m. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m,高为6m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8m,那么两排灯的水平距离最小是多少米?
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13. 难度:困难 | |
如图,已知直线y=x+2交x轴、y轴分别于点A、B,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣,且抛物线经过A、B两点,交x轴于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点M是抛物线x轴上方一点,∠MBA=∠CBO,求点M的坐标; (3)过点A作AB的垂线交y轴于点D,平移直线AD交抛物线于点E、F两点,连结EO、FO.若△EFO为以EF为斜边的直角三角形,求平移后的直线的解析式.
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14. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣4,0)和C点(0,﹣4),与x轴另一个交点为B. (1)求此二次函数的解析式和顶点D的坐标; (2)求出A、B两点之间的距离; (3)直接写出当y>﹣4时,x的取值范围.
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15. 难度:困难 | |
如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC如图所示放置,点A在x轴上,点B的坐标为(n,1)(n>0),将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、A′、C′三点. (1)求此抛物线的解析式(a、b、c可用含n的式子表示); (2)若抛物线对称轴是x=1的一条直线,直线y=kx+2(k≠0)与抛物线相交于两点D(x1,y1)、E(x2、y2)(x1<x2),当|x1﹣x2|最小时,求抛物线与直线的交点D和E的坐标; (3)若抛物线对称轴是x=1的一条直线,如图2,点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一动点,点Q是坐标平面内一点,四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形,点Q′与点Q关于直线CM对称,连接MQ′、PQ′,当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的时,求平行四边形APQM的面积.
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16. 难度:困难 | |
国家推行“节能减排,低碳经济”政策后,某环保节能设备生产企业的产品供不应求.若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围,每套产品的生产成本不高于50万元,每套产品的售价不低于80万元,已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y(万元)之间满足关系式y=150﹣2x,月产量x(套)与生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系. (1)直接写出y2与x之间的函数关系式; (2)求月产量x的范围; (3)当月产量x(套)为多少时,这种设备的利润W(万元)最大?最大利润是多少?
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17. 难度:困难 | |
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,﹣1),且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧),点P是抛物线上的一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合),过点P作PD∥y轴,交AC于点 D. (1)求该抛物线的函数关系式及A、B两点的坐标; (2)求点P在运动的过程中,线段PD的最大值; (3)若点P与点Q重合,点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A,P,E,F为顶点的平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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