北京市上地学校2019届九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、单选题

1. 难度：简单

如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（　　）

A. 90°    B. 60°    C. 45°    D. 30°

2. 难度：简单

半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（　　）

A. 2    B. π    C. π    D. π

3. 难度：中等

如图，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（　　）

A.     B. 10    C. 3    D.

4. 难度：简单

夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，于是得出树的高度为(　　)

A．8m      B．6.4m      C．4.8m      D．10m

5. 难度：简单

若二次函数y=ax²+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）²+1=0的实数根为（　　）

A. x₁=0，x₂=4    B. x₁=﹣2，x₂=6    C. x₁=，x₂=    D. x₁=﹣4，x₂=0

6. 难度：中等

如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（　　）

A. 3    B. ﹣3    C. 6    D. ﹣6

二、填空题

7. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）

A.     B.

C.     D.

三、单选题

8. 难度：中等

如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：① PA=PB+PC，② ;③ PA·PE=PB·PC．其中，正确结论的个数为（      ）。

A．3个       B．2个      C．1个      D．0个

四、填空题

9. 难度：中等

在实数范围内，若有意义，则x的取值范围_____．

10. 难度：中等

有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是_____．

11. 难度：中等

当k_____时，方程kx²+x=2﹣5x²是关于x的一元二次方程．

12. 难度：简单

把二次函数y=2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为             ．

13. 难度：简单

如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是_____．

14. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为_____．

15. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_____．

16. 难度：中等

如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为_____．

五、解答题

17. 难度：中等

解下列方程：

（1）  (x－5)² ＝x－5            （2） x²+12x+27=0（配方法）.

18. 难度：中等

小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．

小华的作法如下：

（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；

（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；

（3）连接OM、ON即可

请根据该同学的作图方法完成以下推理：

∵半圆AB

∴　   　是直径．

∵CD是线段AB的垂直平分线

∴OA＝OB（依据：　   　）

∵OA＝OM＝　   　

∴△OAM为等边三角形（依据：　   　）

∴∠AOM＝60°（依据：　   　）

同理可得∠BON＝60°

∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°

19. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．

（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．

（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．

20. 难度：中等

阅读新知：化简后，一般形式为ax⁴+bx²+c=0(a≠0)的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如:求解2x⁴-5x²+3=0的解．

【解析】
设，则原方程可化为：，解之得

当时，，  ∴；

当时     ∴．

综上，原方程的解为：，.

（1）通过上述阅读，请你求出方程的解；

（2）判断双二次方程ax⁴+bx²+c=0(a≠0)根的情况，下列说法正确的是     （选出正确的答案)．

①当b²-4ac≥0时，原方程一定有实数根；

②当b²-4ac<0时，原方程一定没有实数根；

③原方程无实数根时，一定有b²-4ac<0．

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．

（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；

（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．

22. 难度：中等

问题探究：

新定义：

将一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）

解决问题：

已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2.

（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，直接写出AD的长；

（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并直接写出它们的长度. （要求：图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）

23. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A（1，a）．

（1）求a，k的值；

（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．

六、填空题

24. 难度：中等

已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y=﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．

（1）B点坐标是     （用含m的代数式表示），∠ABO=   °；

（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．

①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

②当时，求m的值．

七、解答题

25. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．

（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）

（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．

26. 难度：困难

已知二次函数． 

（1）该二次函数图象的对称轴是；

（2）若该二次函数的图象开口向上，当时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；

（3）对于该二次函数图象上的两点，，设，当时，均有，请结合图象，直接写出的取值范围．

27. 难度：困难

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．

（1）求证：PC＝PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝　   　度．

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：

若b′=，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．

（1）点（，﹣1）理想点的坐标是_____；若点C在函数y=2x²的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？_____；

（2）若点P在函数y=﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：

①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；

②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y=（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．