浙江省宁波市鄞州区2018届九年级上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

已知，，则的值等于（　　）

A. 1    B.     C.     D.

2. 难度：中等

如图，△ABC内接于⊙O，∠A =60°，则∠BOC等于（     ）

A. 30°    B. 100°    C. 110°    D. 120°

3. 难度：简单

抛物线y＝x²+2x+1的对称轴是（　　）

A. 直线x＝1    B. 直线x＝﹣1    C. 直线x＝2    D. 直线x＝﹣2

4. 难度：简单

如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（  ）

A．4       B．6        C．7        D．8

5. 难度：简单

某校组织抽奖活动，共准备了100张奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中二等奖的概率为（　　）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：简单

抛物线y＝x²﹣x﹣1与坐标轴的交点个数是（　　）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

7. 难度：中等

一个半径为24的扇形的弧长等于20π，则这个扇形的圆心角是（　　）

A. 120°    B. 135°    C. 150°    D. 165°

8. 难度：简单

把抛物线y＝﹣x²向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线是（　　）

A. y＝﹣（x﹣1）²﹣2    B. y＝﹣（x﹣1）²+2    C. y＝﹣（x+1）²﹣2    D. y＝﹣（x+1）²+2

9. 难度：中等

如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m．在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD＝45°，∠ACD＝60°．则气球A离地面的高度（　　）

A. （30﹣10）米    B. 20米    C. （30+10）米    D. 40米

10. 难度：中等

如图，点G是△ABC的重心，EF∥BC，交AD于点F，则AF：FG：GD等于（　　）

A. 3：1：2    B. 2：1：2    C. 4：2：3    D. 4：1：3

11. 难度：中等

如图，△ABC是⊙O的一个内接三角形，∠B＝60°，AC＝6，图中阴影部分面积记为S，则S的最小值（　　）

A. 8π﹣9    B. 8π﹣6    C. 8π﹣3    D. 8π﹣2

12. 难度：中等

如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，若∠A+∠B＝α（0＜α＜90°），那么S_△CDP：S_△ABP等于（　　）

A. sin²α    B. cos²α    C. tan²α    D.

二、填空题

13. 难度：简单

二次函数y＝（x﹣1）²﹣3的最小值是_____．

14. 难度：简单

如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC交l₁，l₂，l₃于点A，B，C；直线DF交l₁，l₂，l₃于点D，E，F．若，则＝_____．

15. 难度：简单

已知（﹣2， y₁），（﹣1，y₂），（3，y₃）是抛物线y＝x²﹣4x+1上的点，则y₁，y₂，y₃从小到大用“＜“排列是_____．

16. 难度：中等

如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形．点C、E、D分别在OA、OB、弧AB上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F．如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为____________．

17. 难度：困难

如图，将一个等腰直角三角形纸片ABC（如图①）沿AD折叠，使直角顶点C落在斜边AB边上的E处（如图②）．则可以利用此图求出tan22.5°的值为_____．

18. 难度：中等

如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m的结果为m＝_____．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：cos30°－sin45°＋tan45°·cos60°.

20. 难度：简单

如图，请在三个6×6的网格中各画一个有一个内角的正切值等于3的直角三角形．（要求：所画的这三个直角三角形大小不等）

21. 难度：中等

在一个箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同．

（1）从箱子里摸出1个球，是黑球，这属于什么事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”）

（2）从箱子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出一个球，请利用树状图或表格计算，这样先后摸得的两个球都是红球的概率．

22. 难度：中等

如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的圆与斜边AB相切于点D，P是弧CD上任意一点，过点P作⊙O的切线，交BC于点M，交AB于点N，已知AB＝5，AC＝4．

（1）△BMN的周长等于多少；

（2）⊙O的半径．

23. 难度：中等

已知：如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，AC与BD相交于点F．

（1）求证：DB＝DC；

（2）若DA＝DF，求证：△BCF∽△BDC．

24. 难度：中等

某超市销售一种饮料，每瓶进价为10元．经市场调查表明，当售价在12元到14元之间（含12元，14元）浮动时，日均销售y（瓶）与售价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数，且当x＝10时，y＝500；x＝12，y＝400．

（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）应将售价定为每瓶多少元时，所得日均毛利润最大？最大日均毛利润为多少元？（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）

25. 难度：困难

如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：

（1）当CP⊥OA时，求t的值；

（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；

（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．

26. 难度：困难

我们把经过原点，顶点落在同一抛物线C上的所有抛物线称为抛物线C的派生抛物线．

（1）若y₁＝﹣x²+4x是抛物线C：y＝ax²+2的派生抛物线，求a的值．

（2）证明：经过原点的抛物线y＝﹣mx²+2mx+m﹣2是抛物线C：y＝x²+的派生抛物线；

（3）如图，抛物线y₁，y₂，y₃，y₄…y_n都是抛物线C：y＝x²﹣2x+2的派生抛物线，其顶点A₁，A₂，A₃，A₄…A_n的横坐标分别是1、2、3、4…n，它们与x轴的另一个交点分别是B₁，B₂，B₃，B₄…B_n，与原点O构成的三角形分别为△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，△OA₄B₄…△OA_nB_n．

①请用含n的代数式表示抛物线y_n的函数表达式；

②在这些三角形中，是否存在两个相似的三角形，若存在，请直接写出它们所对应的两个函数的表达式，若不存在，请说明理由．