湖北省随州市广水市西北协作区2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是(　　)

A.  B.

C.  D.

2. 难度：简单

解一元二次方程x²﹣8x﹣5＝0，用配方法可变形为（    ）

A. （x﹣4）²＝21    B. （x﹣4）²＝11    C. （x+4）²＝21    D. （x+4）²＝11

3. 难度：中等

给出下列四个函数：①y＝﹣x；②y＝x；③y＝x²，x＜0时，y随x的增大而减小的函数有（    ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

4. 难度：简单

抛物线y＝﹣(x+)²﹣3的顶点坐标是(  )

A. (，﹣3) B. (﹣，﹣3) C. (，3) D. (﹣，3)

5. 难度：中等

三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x²﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（    ）

A. 24    B. 24或8    C. 48    D. 8

6. 难度：中等

设a、b是一元二次方程x²﹣2x﹣1＝0的两个根，则a²+a+3b的值为（    ）

A. 5    B. 6    C. 7    D. 8

7. 难度：中等

如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么弦AC的值为（    ）

A. 3    B. 2    C. 3    D. 2

8. 难度：中等

如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为（    ）

A.     B. 2    C. 2    D. 4

9. 难度：简单

若关于x的一元二次方程(k－1)x²＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(     )

A. k<5    B. k<5，且k≠1    C. k≤5，且k≠1    D. k>5

10. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b²；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0；⑦方程ax²+bx+c＝﹣4有实数解，正确的有（    ）

A. 3个    B. 4个    C. 5个    D. 6个

二、填空题

11. 难度：简单

把方程3x（x﹣1）＝（x+2）（x﹣2）+9化成ax²+bx+c＝0的形式为_____．

12. 难度：中等

若关于x的二次三项式x²﹣（m﹣1）x+16是完全平方式，则m＝______．

13. 难度：中等

若X为实数，且（x²+x）²﹣2（x²+x）﹣3＝0，则x²+x＝_____．

14. 难度：中等

已知抛物线y＝ax²+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），则该抛物线的解析式为__________．

15. 难度：中等

如图，P是等边△ABC内一点，且PA＝6，PC＝8，PB＝10，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP′C，则∠APC＝_____°．

16. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．

三、解答题

17. 难度：中等

解下列方程

（1）x²﹣2x﹣1＝0

（2）（x﹣1）²＝（3﹣2x）²

18. 难度：困难

已知关于x的一元二次方程：x²﹣2（m+1）x+m²+5＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若原方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x₁²+x₂²＝|x₁|+|x₂|+2x₁x₂，求m的值．

19. 难度：中等

某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．

（1）填表（不需化简）

	入住的房间数量	房间价格	总维护费用
提价前	60	200	60×20
提价后

（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）

20. 难度：中等

如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10）

（1）求点P的坐标；

（2）将⊙P绕点O顺时针方向旋转90°后得⊙A，交x轴于B、C，求过A、B、C三个点的抛物线的解析式．

21. 难度：简单

如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．

（1）求证：DE＝DB；

（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．

22. 难度：中等

某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件；如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价为x元，每个月的销售量为y件．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式；

（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？

23. 难度：中等

我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．

①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝____BC；

②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为____．

猜想论证：

（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

24. 难度：中等

如图，已知：二次函数y＝x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C，点D（﹣2，﹣3）在抛物线上．

（1）求抛物线的表达式；

（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值；

（3）若抛物线上有一动点M，使△ABM的面积等于△ABC的面积，求M点坐标．

（4）抛物线的对称轴上是否存在动点Q，使得△BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．