甘肃省兰州市联片2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）

A. ax²+bx+c＝0    B. 3x²+xy﹣y²＝0

C. x²+x+1＝0    D. x²+＝5

2. 难度：简单

下列性质中，矩形具有但菱形不一定具有的是（ ）

A. 对角线互相平分    B. 对角线互相垂直

C. 对角线相等    D. 对边平行

3. 难度：简单

利用如图的两个转盘进行“配紫色”的游戏，能配得紫色的概率是（　　）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

方程x²=3x的解为（   ）

A. x=3                   B. x=0                     C. x₁=0，x₂=﹣3                   D. x₁=0，x₂=3

5. 难度：中等

一个不透明的袋子中装有个白球和若干个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一球，记下颜色并放回，重复该实验多次，发现摸到白球的频率稳定在，则可判断袋子中黑球的个数为（       ）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

6. 难度：简单

一元二次方程2x²﹣3x+1=0化为（x+a）²=b的形式，正确的是（   ）

A.                 B.                  C.                  D. 以上都不对

7. 难度：中等

如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是（　　）

A. 24    B. 16    C.     D.

8. 难度：中等

为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是(     )

A. 100(1−x)² ＝81    B. 81(1−x)² ＝100    C. 100(1－2x)＝81    D. 81(1－2x)＝100

9. 难度：简单

下列说法错误的是（ ）

A. 顺次连接矩形各边的中点所成的四边形是菱形

B. 四个角都相等的四边形是矩形

C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

10. 难度：简单

关于的方程的根的情况是（ ）

A. 有两个不相等的实数根    B. 有两个相等的实数根

C. 有两个实数根    D. 没有实数根

11. 难度：困难

如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（ ）

A. 15    B. 16    C. 19    D. 20

12. 难度：困难

如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为（    ）

A.     B.     C.     D. 不确定

二、填空题

13. 难度：简单

一元二次方程的一般形式是         ，其中一次项系数是      ．

14. 难度：简单

关于x的一元二次方程（m+2）x²﹣mx+m²﹣4＝0有一根是0，则m的值为____．

15. 难度：中等

现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．

16. 难度：困难

如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合)，连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是____________

三、解答题

17. 难度：简单

解下列方程：

（1）（x+1）²﹣9＝0

（2）x+3﹣x（x+3）＝0

（3）x²+x﹣1＝0．

18. 难度：简单

如图，已知：线段a、b，求作：菱形ABCD，使得AC＝a，BD＝b．

要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出作法．

19. 难度：中等

如图，有一个可以自由转动的转盘，被均匀分成等份，分别标上、、、、五个数字．甲乙两人玩一个游戏，其规则如下：任意转动转盘一次，转盘停止后，指针指向一个数字，如果所得的数字是偶数，则甲胜；如果所得的数字是奇数，则乙胜．

(1)转出的数字是的概率是________

(2)转出的数字不大于的概率是________

(3)转出的数字是偶数的概率是________

(4)你认为这样的游戏规则对甲、乙两人是否公平？为什么？

20. 难度：中等

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．

21. 难度：中等

(9分)已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；

（2）若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？

22. 难度：简单

某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低元，其销量可增加件．

求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

若商场经营该商品一天要获利润元，并让顾客得到实惠，则每件商品应降价多少元？

23. 难度：中等

有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．

（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；

（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．

24. 难度：困难

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在斜边AB上 （不与A、B重合），过P作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别是E、F，连接EF．随着P点在边AB上位置的改变，EF的长度是否也会改变？若不变，请你求EF的长度；若有变化，请你求EF的变化范围．

25. 难度：中等

韦达定理：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根分别为x₁、x₂  ， 则x₁+x₂=﹣  ， x₁•x₂=  ， 阅读下面应用韦达定理的过程：

若一元二次方程﹣2x²+4x+1=0的两根分别为x₁、x₂  ， 求x₁²+x₂²的值．

【解析】
该一元二次方程的△=b²﹣4ac=4²﹣4×（﹣2）×1=24＞0

由韦达定理可得，x₁+x₂=﹣=﹣=2，x₁•x₂===﹣

x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂

=2²﹣2×（﹣）

=5

然后解答下列问题：

（1）设一元二次方程2x²+3x﹣1=0的两根分别为x₁，x₂， 不解方程，求x₁²+x₂²的值；

（2）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+（k²﹣1）x+（k﹣1）²=0的两根分别为α，β，且α²+β²=4，求k的值．

26. 难度：困难

在图1到图3中，点O是正方形ABCD对角线AC的中点，△MPN为直角三角形，∠MPN＝90°．正方形ABCD保持不动，△MPN沿射线AC向右平移，平移过程中P点始终在射线AC上，且保持PM垂直于直线AB于点E，PN垂直于直线BC于点F．

（1）如图1，当点P与点O重合时，写出OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当P在线段OC上时，猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，写出OE与OF的数量关系；位置关系．