北京市房山区2018-2019学年第一学期期末九年级数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

二次函数的顶点坐标是(    )

A. (1，-3)    B. (-1，-3)    C. (1，3)    D. (-1，3)

2. 难度：简单

如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是(   )

A. 1:2    B. 1:3    C. 1:4    D. 1:9

3. 难度：简单

如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB=52°，则∠ADB的度数是(    )

A. 104°    B. 52°    C. 38°    D. 26°

4. 难度：简单

如图，在△ABC中，DE∥BC，若，AE＝1，则EC等于（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

5. 难度：简单

如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积为(  )

A. 1    B. 2    C. 4    D. 6

6. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2,BD=3,则AC长为(    )

A.     B.     C.     D. 6

7. 难度：中等

抛物线y＝x²﹣2x+m与x轴有两个交点，则m的取值范围为（　　）

A. m＞1    B. m＝1    C. m＜1    D. m＜4

8. 难度：中等

已知二次函数y₁＝ax²＋bx＋c(a≠0)和一次函数y₂＝kx＋n(k≠0)的图象如图所示，下面有四个推断:

①二次函数y₁有最大值

②二次函数y₁的图象关于直线对称

③当时，二次函数y₁的值大于0

④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y₁，y₂的图象的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m＜-3或m＞-1．

其中正确的是(    )

A. ①③    B. ①④    C. ②③    D. ②④

二、填空题

9. 难度：简单

已知点A(1，a)在反比例函数的图象上，则a的值为_______．

10. 难度：简单

请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______．

11. 难度：简单

如图，在中，为弦，半径于，如果，那么的半径为____________.

12. 难度：中等

把二次函数化为的形式，那么=_____.

13. 难度：简单

如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：                                ，使△ABC∽△ADE．

14. 难度：简单

若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．

15. 难度：中等

为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上．测得DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米．按此方法，请计算旗杆的高度为_____米．

16. 难度：中等

如图1，将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为D，半圆(量角器)的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆(量角器)恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为__________cm. 

三、解答题

17. 难度：中等

计算：.

18. 难度：中等

下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：直线l及直线l外一点P.

求作：直线PQ，使得PQ⊥l.

做法：如图，

①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B；

②分别以点A，B为圆心，大于AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q(与P点不重合)；

③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线.

根据小西设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：∵PA=         ，QA=         ,

∴PQ⊥l(                                               )(填推理的依据).

19. 难度：中等

如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A₁B₁C₁，要求：A₁，B₁，C₁三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A₁B₁C₁的面积．

20. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC．已知A(﹣2，0)，B(6，0)，D(0，3)，函数y＝(x＞0)的图象G经过点C．

(1)求点C的坐标和函数y＝(x＞0)的表达式；

(2)将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形A'B'C'D'，问点B'是否落在图象G上？

21. 难度：简单

小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm²)随x(单位：cm)的变化而变化．

（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?

22. 难度：简单

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5．

(1)求cos∠ADE的值；

(2)当DE=DC时，求AD的长．

23. 难度：中等

如图，反比例函数的图象与一次函数的图象分别交于M，N两点，已知点M(-2，m).

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．

24. 难度：中等

如图，AB，AC是⊙O的两条切线，B，C为切点，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接BE，连接AO．

（1）求证：AO∥BE；

（2）若DE＝2，tan∠BEO＝，求DO的长．

25. 难度：中等

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．

（1）求线段CD的长；

（2）求sin∠DBE的值．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.

(1)直接写出点B的坐标；

(2)若抛物线y=-x²+bx+c经过点A,B，求抛物线的表达式；

(3)若抛物线y=-x²+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．

27. 难度：中等

如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．

(1)依题意补全图形；

(2)求证：∠BAD=∠BFG；

(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．

28. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(3，2)，连接AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”． 

(1)在点C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，线段AB的“临近点”是__________；

(2)若点M(m，n)在直线上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；

(3)若直线上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.