江苏省南京市玄武区2019届九年级第一学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

抛物线y＝（x－2）²－3的顶点坐标为（  　）

A. （2，3）    B. （2，－3）    C. （－2，－3）    D. （－2，3）

2. 难度：中等

如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝2，BC＝6，则＝（  　）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

如图，直线l₁∥l₂∥l₃，直线AC分别交l₁、l₂、l₃于点A、B、C，直线DF分别交l₁、l₂、l₃于点D、E、F，若AB＝3，BC＝5，则的值为（  　）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝115°，则∠BOD的度数为（  　）

A. 110°    B. 120°    C. 130°    D. 140°

5. 难度：中等

设x₁、x₂是关于x的方程x²－mx－6＝0的两个根，且x₁＋x₂＝5，则m的值为（  　）

A. 5    B. 1    C. 0    D. －5

6. 难度：中等

已知二次函数y＝－2（x－1）（x－m＋3）（m为常数），则下列结论正确的有（  　）

①抛物线开口向下； ②抛物线与y轴交点坐标为（0，－2m＋6）；

③当x＜1时，y随x增大而增大；④抛物线的顶点坐标为（，）．

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

二、填空题

7. 难度：中等

若，则＝___________．

8. 难度：中等

某班5名女生的身高（单位：cm）分别为：166，166，167，167，169，则她们身高的方差为________cm²．

9. 难度：中等

已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC＝________．（结果保留根号）

10. 难度：中等

已知圆锥的底面圆半径为3 cm，母线长为4 cm，则该圆锥的侧面积为________cm²．

11. 难度：中等

一只不透明的袋子中装有若干个蓝球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若摸到蓝球的概率是0.8，则袋子中有________个蓝球．

12. 难度：中等

把函数y＝－x²的图像先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新函数的图像，则新函数的表达式是________．

13. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²＋bx＋c的自变量x与函数y的部分对应值列表如下：

则关于x的方程ax²＋bx＋c＝0的解是________．

14. 难度：中等

如图，在扇形OAC中，B是弧AC上一点，且AB、BC分别是⊙O的内接正六边形、正五边形的边，则∠A＋∠C＝________°．

15. 难度：中等

如图，已知点A（1－n²，a），B（n²＋2，b）在抛物线y＝mx²－2mx＋3（m为常数）上，则a________b．（填“＞”、“＜”或“＝”）

16. 难度：中等

若－3≤a＜1，则满足a（a＋b）＝b（a＋1）－3a的整数b的值有________个．

三、解答题

17. 难度：中等

解方程：

（1）2x²－4x－3＝0；               （2）x（2x－1）＝x．

18. 难度：中等

某公司25名营销人员某月销售某种商品的数量如下（单位：台）：

（1）该公司营销人员该月销售量的平均数是    台，中位数是    台，众数是    台；

（2）假设你是销售部负责人，你认为应怎样制定每位营销人员的月销售量指标？说说你的理由．

19. 难度：中等

为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，某学校开设了特色选修课程．本学期该校共开设A、B、C三类课程，如下表所示．

（1）若小明从A类课程中随机选择一门课程，则他恰好选中“合唱”的概率是      ．

（2）若小明分别从B类课程和C类课程中各随机选择一门课程，求他恰好选中“汉字的故事”和“乒乓球”的概率．

20. 难度：中等

如图，已知二次函数y＝ax²＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）求该二次函数的最大值；

（3）结合图像，解答问题：当y＞3时，x的取值范围是      ．

21. 难度：中等

如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE相交于点F，连接DB、CE．

（1）若，求∠AFD的度数；

（2）若∠ADE＝∠ABC，求证△ADB∽△AEC．

22. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两个点，且D是弧BC的中点，OD与BC交于点E，连接AC．

（1）若∠A＝70°，求∠CBD的度数；

（2）若DE＝2，BC＝6，求半圆O的半径．

23. 难度：中等

已知二次函数y＝－x²＋（m＋1）x－m（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点；

（2）若该二次函数的图像与x轴交于不同的两点A、B，与y轴交于点C，且AB²＝2OC²（O为坐标原点），求m的值．

24. 难度：中等

某网店销售一种手帕，每条进价为30元，经市场调研，售价为50元时，每月可销售200条；售价每降低1元，销售量将增加10条．

（1）每条售价为40元时，每月可获得利润      元；

（2）如果规定月销售量不低于250条，且售价不低于进价，当售价为多少元时，每月获得利润最大？最大利润为多少元？

25. 难度：中等

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，且交⊙O于点D，过点D作DE∥BC，交AB的延长线于点E，连接BD、CD．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AB＝8，AC＝6，求BE的长．

26. 难度：中等

如图①，有两个△ABC和△A′B′C′，其中∠C＋∠C′＝180°，且两个三角形不相似．能否分别用一条直线分割这两个三角形，使△ABC所分割成的两个三角形与△A′B′C′所分割成的两个三角形分别相似？如果能，画出分割线，并标明相等的角；如果不能，请说明理由．

小明经过思考后，尝试从特殊情况入手，画出了当∠C＝∠C′＝90°时的分割线：

（1）小明在完成画图后给出了如下证明思路，请补全他的证明思路．

由画图可得△BCD∽△      ．

由∠A＋∠B＝90°，∠A′C′D′＋∠B′C′D′＝90°，∠A′C′D′＝∠B，得      ．

同理可得：∠B′＝∠ACD．

由此得：△ACD∽△      ．

（2）当∠C＞∠C′时，请在图①的两个三角形中分别画出满足题意的分割线，并标明相等的角．（不写画法）

27. 难度：中等

（数学概念）

若等边三角形的三个顶点D、E、F分别在△ABC的三条边上，我们称等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．

（概念辨析）

（1）下列图中△DEF均为等边三角形，则满足△DEF是△ABC的内接正三角形的是      ．

A．　　　　B．

C．

（操作验证）

（2）如图①．在△ABC中，∠B＝60°，D为边AB上一定点（BC＞BD），DE＝DB，EM平分∠DEC，交边AC于点M，△DME的外接圆与边BC的另一个交点为N．

求证：△DMN是△ABC的内接正三角形．

（知识应用）

（3）如图②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D是边AB上的动点，若边BC上存在一点E，使得以DE为边的等边三角形DEF是△ABC的内接正三角形．设△DEF的外接圆⊙O与边BC的另一个交点为K，则DK的最大值为         ，最小值为         ．