江苏省2019届九年级第一学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

方程（x+1）（x﹣3）=0的根是（　　）

A. x=﹣1    B. x=3    C. x₁=1，x₂=3    D. x₁=﹣1，x₂=3

2. 难度：中等

把抛物线y＝﹣x²向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）

A. y＝﹣（x﹣1）²+3    B. y＝﹣（x+1）²+3

C. y＝﹣（x+1）²﹣3    D. y＝﹣（x﹣1）²﹣3

3. 难度：中等

已知抛物线过点A（―1，m）、B（1，m）和C（2，m―1），则其大致图像如(    )

A.     B.     C.     D.

二、填空题

4. 难度：中等

若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（　　）

A. 0＜a＜1    B. 1＜a＜2    C. 2＜a＜3    D. 3＜a＜4

三、单选题

5. 难度：困难

如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，则A′E的长为(    )

A. 8    B. 7    C. 6    D. 5

6. 难度：中等

如图，已知A、B两点的坐标分别为（―2，0）,（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，―1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是(    )

A. 4    B.     C.     D. 3

四、填空题

7. 难度：中等

已知 ＝ ，则 ＝____．

8. 难度：中等

设x₁、x₂是方程x²―nx＋n―3＝0的两个根，则x₁＋x₂―x₁x₂＝____．

9. 难度：中等

已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为3，那么数据a＋2，b＋2，c＋2的平均数、方差分别是____、____．

10. 难度：中等

若圆锥的底面圆半径为3 cm，高为4 cm，则圆锥的侧面展开图扇形的面积是__cm²．

11. 难度：中等

如图，根据所给信息，可知的值为_________.

12. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，若AB＝AD，∠C＝116°，则∠ABD＝____°． 

13. 难度：简单

将一副三角尺如图所示叠放在一起，则△AEB与△CED的面积比为_____．

14. 难度：中等

如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则sin∠A的值为____．

15. 难度：简单

已知二次函数y=ax²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表所示：

x	…	﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	…
y	…	﹣8	﹣3	0	1	0	…

当y＜﹣3时，x的取值范围是_____．

16. 难度：中等

已知实数x、y满足x²＋2x＋y－1＝0，则x＋2y的最大值为_________ ．

五、解答题

17. 难度：中等

（1）解方程：x²＋6x―7＝0．   

（2）计算：

18. 难度：中等

某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8次测试，测试成绩（单位：环）如下表：

	第一次	第二次	第三次	第四次	第五次	第六次	第七次	第八次
甲	10	8	9	8	10	9	10	8
乙	10	7	10	10	9	8	8	10

（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是    环，乙的平均成绩是    环；

（2）分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差；

（3）根据（1）（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，并说明理由．

19. 难度：中等

如图，P为⊙O外一点，过P的两条直线交⊙O分别于A、B，C、D．      

求证：PA• PB＝PC• PD．

20. 难度：中等

某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元并且不得低于50元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

（2）每件商品的售价定为多少元时，库存少而获利最大？每个月最大的利润是多少元？

21. 难度：中等

已知：如图，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°，船前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°，已知在该岛周围6海里内有暗礁，问船若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由。

22. 难度：困难

某校数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过自主思考、合作交流讨论，得到以下思路：

思路一  如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点D，使BD＝BA，连接AD．……

思路二  如图2，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB＝AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD＝15°……

思路三  利用科普书上的有关公式：tan（α＋β）＝；

tan（α―β）＝；…

请解决下列问题（上述思路仅供参考）．

（1）选择你喜欢的一种思路，完成解答过程，求出tan 15°的值（保留根号）；

（2）试利用同样的方法，计算tan22.5°的值（保留根号）．

23. 难度：中等

如图，已知抛物线y＝x²＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）根据图像，直接写出不等式x²＋bx＋c＞0的解集：    ．

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为：    ．

24. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若AB＝2，BC＝4，求⊙O的半径．

25. 难度：困难

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，DE＝4cm，线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）用含t的代数式表示线段EF的长度为    ；

（2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由；

（3）若点M是线段EF的中点，请直接写出在整个运动过程中点M运动路线的长．

26. 难度：中等

（问题提出）

“不以规矩，不能成方圆．”——孟子；“圆，一中同长也．”——墨经．

（1）圆，一中同长也．”体现了古代先哲对“圆”定义的思考，请用现代文翻译：____．

（初步思考）

圆规是我们初中几何学习不可或缺的工具，用圆规不仅可以画圆、画弧，还可以画弧与弧的交点，利用这一特征可以构造很多图形，如：

（2）角平分线：如图1，只用圆规在∠AOB中画出一点P使得点P在∠AOB的角平分线上；对称点：如图2，只用圆规画出点P关于直线l的对称点Q，并说明理由．

（操作与应用）

（3）已知点A、直线l.在图3中只用圆规在直线l上画出两点B、C，使得A、B、C恰好是等腰三角形的3个顶点，（画出一个并写出相等线段即可）：

已知点P、直线l.在图4中只用圆规画出一点Q，使得点P、Q所在的直线与直线l平行.（提示：平行四边形对边平行）．

（4）已知点O、A、B，只用圆规画出半径为AB的⊙O与点A、B所在直线的交点C、D.