江苏省南京市溧水区2019届九年级第一学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是 （  ）

A. x²－6x+2    B. 2x²＋y＋1＝0    C. 5x²＝0    D. ＋x＝2

2. 难度：简单

某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进的个数分别为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的极差是 （  ）

A. 4    B. 7    C. 5    D. 3

3. 难度：中等

（3分）在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（  ）

A．      B．      C．      D．

4. 难度：中等

下列抛物线向右平移2个单位后，得到抛物线y＝x²的是（  ）

A. y ＝(x＋2)²    B. y＝x²＋2    C. y ＝(x－2)²    D. y＝x²－2

5. 难度：简单

如图，点A、B、C在半径为6的⊙O上，弧AB的长为，则∠ACB的大小是（  ）

A. 20°    B. 30°    C. 45°    D. 60°

6. 难度：困难

如图，直线y＝－x＋2 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（－2，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向右移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（  ）

A. 3    B. 4    C. 5    D. 7

二、填空题

7. 难度：简单

若3x=5y，则=__________.

8. 难度：简单

抛掷一枚质地均匀、六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字的正方体骰子一次，则向上一面的数字小于5的概率是____．

9. 难度：简单

△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比是1：2，已知△ABC的面积是2，则△DEF的面积是____．

10. 难度：简单

已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x²＋x＋1＝0的一个根，则m的值是____．

11. 难度：简单

在阳光下，身高1.6m的小林在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗杆在地面上的影长为12m，则旗杆的高度为     m．

12. 难度：简单

如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠D＝70°，∠B＝50°，那么sin∠AEB的值为____．

13. 难度：简单

若二次函数y＝(a－1)x²＋3x＋a²－1的图像经过原点，则a的值必为____．

14. 难度：简单

如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F=____°．

15. 难度：简单

抛物线y＝ax²＋bx＋c上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表，则下列说法中正确的有_______．（填序号）                                              

x	…	－4	－3	－2	－1	0	1	…
y	…	－37	－21	－9	－1	3	3	…

①当x＞1时，y随x的增大而减小．      ②抛物线的对称轴为直线x＝－．

③当x＝2时，y＝－9．            ④方程ax²＋bx＋c＝0一个正数解满足1＜＜2．

16. 难度：中等

在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为_____．

三、解答题

17. 难度：简单

解方程：

(1)  x²－4x＋3＝0；                     (2)  3x（x－3）＝2（3－x）．

18. 难度：简单

计算：cos30°tan60°＋sin²45°．

19. 难度：中等

我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．

（1）根据图示填写下表；

	平均数（分）	中位数（分）	众数（分）
初中部		85
高中部	85		100

（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；

（3）计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．

（1）求证：△BDE∽△CAD；

（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．

21. 难度：简单

2018年“我要上春晚”进入决赛阶段，最终将有甲、乙、丙、丁4名选手进行决赛的终极较量，决赛分3期进行，每期比赛淘汰1名选手，最终留下的歌手即为冠军．假设每位选手被淘汰的可能性都相等．

（1）甲在第1期比赛中被淘汰的概率为      ；

（2）求甲在第2期被淘汰的概率．

22. 难度：中等

如图，已知△ABC，∠B=40°．

（1）在图中，用尺规作出△ABC的内切圆O，并标出⊙O与边AB，BC，AC的切点D，E，F（保留痕迹，不必写作法）；

（2）连接EF，DF，求∠EFD的度数．

23. 难度：中等

如图，要利用一面墙（墙长为15米）建羊圈，用30米的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的一边AB为x m，总面积为y m²．

(1)求y与x的函数关系式．

(2)如果要围成总面积为63 m²的羊圈，AB的长是多少?

24. 难度：中等

已知二次函数y＝－x²＋2x＋3．

(1)求函数图像的顶点坐标，并画出这个函数的图像；

(2)根据图像，直接写出：

①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；

②当－2＜x＜2时，函数值y的取值范围；

③若经过点（0，k）且与x轴平行的直线l与y＝－x²＋2x＋3的图像有公共点，求k的取值范围．

25. 难度：困难

如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC． 

（1）求证：PA是⊙O的切线；

（2）若OH⊥AC，OH＝1，求DH的长．

26. 难度：困难

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数y＝a₁x²＋b₁x＋c₁（a₁≠0，a₁，b₁，c₁是常数）与y＝a₂x²＋b₂x＋c₂

（a₂≠0，a₂，b₂，c₂是常数）满足a₁＋a₂＝0，b₁＝b₂，c₁＋c₂＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求y＝－2x²＋5x－3函数的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由y＝－2x²＋5x－3函数可知，a₁＝－2，b₁＝5，c₁＝－3，根据a₁＋a₂＝0，b₁＝b₂，c₁＋c₂＝0，求出a₂，b₂，c₂就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面的问题：

（1）写出函数y＝－2x²＋5x－3的“旋转函数”；

（2）若函数y₁＝x²＋ x－n与y₂＝－x²－mx－2互为“旋转函数”，求（m＋n）²⁰¹⁹的值；

（3）已知函数y＝(x－2)(x＋3)的图像与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A₁、B₁、C₁，试证明经过点A₁、B₁、C₁的二次函数与函数y＝ (x－2)(x＋3)互为“旋转函数”．

27. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xoy中，⊙O的圆心O在坐标原点，半径OB在x轴正半轴上，点P是⊙O外一点，连接PO，与⊙O交于点A，PC、PD是⊙O的切线，切点分别为点C、点D，AO＝OB=2，∠POB＝120°，点M 坐标为(1，－）．

(1)求证：OP⊥CD；

(2)连结OM，求∠AOM的大小；

(3) 如果点E在x轴上，且△ABE与△AOM相似，求点E的坐标．