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北京市丰台区2019届九年级(上)期末数学试卷
一、单选题
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1. 难度:简单

如果∠A是锐角,且sinA,那么∠A的度数是(  )

A. 90°    B. 60°    C. 45°    D. 30°

 

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2. 难度:中等

如图,A,B,C是⊙O上的点,如果∠BOC=120°,那么∠BAC的度数是(  )

A. 90°    B. 60°    C. 45°    D. 30°

 

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3. 难度:中等

将二次函数y=x2﹣4x+1化成y=a(x﹣h)2+k的形式为(  )

A. y=(x﹣4)2+1    B. y=(x﹣4)2﹣3    C. y=(x﹣2)2﹣3    D. y=(x+2)2﹣3

 

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4. 难度:中等

如图,在ABCD中,EAB的中点,ECBD于点F,那么EFCF的比是(  )

A. 1:2    B. 1:3    C. 2:1    D. 3:1

 

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5. 难度:中等

如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,如果将矩形OCAD的面积记为S1,矩形OEBF的面积记为S2,那么S1,S2的关系是(  )

A. S1>S2    B. S1=S2    C. S1<S2    D. 不能确定

 

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6. 难度:中等

如图,将一把折扇打开后,小东测量出∠AOC=160°,OA=25cm,OB=10cm,那么由弧AC,弧BD及线段AB,线段CD所围成的扇面的面积约是(  )

A. 157cm2    B. 314cm2    C. 628cm2    D. 733cm2

 

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7. 难度:中等

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么下列说法正确的是(  )

A. a>0,b>0,c>0    B. a<0,b>0,c>0    C. a<0,b>0,c<0    D. a<0,b<0,c>0

 

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8. 难度:中等

对于不为零的两个实数a,b,如果规定:a★b=,那么函数y=2★x的图象大致是(  )

A.     B.     C.     D.

 

二、填空题
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9. 难度:中等

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=6,那么cosB=_____

 

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10. 难度:简单

2m = 3n,那么mn=              .

 

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11. 难度:中等

已知反比例函数,当x>0时,yx增大而减小,则m的取值范围是_____

 

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12. 难度:中等

永定塔是北京园博园的标志性建筑,其外观为辽金风格的八角九层木塔,游客可登至塔顶,俯瞰园博园全貌.如图,在A处测得∠CAD=30°,在B处测得∠CBD=45°,并测得AB=52米,那么永定塔的高CD约是_____米.(≈1.4,≈1.7,结果保留整数)

 

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13. 难度:中等

如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.如果∠B=60°,AC=4,那么CD的长为_____

 

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14. 难度:中等

已知某抛物线上部分点的橫坐标x,纵坐标y的对应值如下表:那么该抛物线的顶点坐标是_____

x

﹣2

﹣1

0

1

2

y

5

0

﹣3

﹣4

﹣3

 

 

 

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15. 难度:中等

刘徵是我国古代最杰出的数学家之一,他在《九算术圆田术)中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法(注:圆周率=圆的周长与该圆直径的比值)“割圆术”就是以“圆内接正多边形的面积”,来无限逼近“圆面积”,刘徽形容他的“割圆术”说:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的,易知圆的内接正六边形可分为六个全等的正三角形,每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长,可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时,如果按照上述方法计算,可得圆周率为_____.(参考数据:sinl5°=0.26)

 

三、解答题
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16. 难度:中等

阅读下面材料:

在数学课上,老师请同学们思考如下问题:

请利用直尺和圆规四等分弧AB.

小亮的作法如下:

如图,

(1)连接AB;

(2)作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M.交AB于点T;

(3)分别作线段AT,线段BT的垂直平分线EF,GH,交弧AB于N,P两点;

那么N,M,P三点把弧AB四等分.

老师问:“小亮的作法正确吗?”

请回备:小亮的作法_____(“正确”或“不正确”)理由是_____

 

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17. 难度:中等

计算:sin60°﹣tan45°+2cos60°

 

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18. 难度:中等

函数y=mx2﹣2mx﹣3m是二次函数.

(1)如果该二次函数的图象与y轴的交点为(0,3),求m的值;

(2)在给定的坐标系中画出(1)中二次函数的图象.

 

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19. 难度:中等

如图,在△ABC中,DE分别是边ABAC上的点,连接DE,且∠ADE=∠ACB

(1)求证:△ADE∽△ACB

(2)如果EAC的中点,AD=8,AB=10,求AE的长.

 

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20. 难度:中等

如图,在平面直角坐标系xOy中,点O为正方形ABCD对角线的交点,且正方形ABCD的边均与某条坐标轴平行或垂直,AB4

(1)如果反比例函数y的图象经过点A,求这个反比例函数的表达式;

(2)如果反比例函数y的图象与正方形ABCD有公共点,请直接写出k的取值范围.

 

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21. 难度:中等

如图1,某学校开展“交通安全日”活动.在活动中,交警叔叔向同学们展示了大货车盲区的分布情况,并提醒大家:坐在驾驶室的司机根本看不到在盲区中的同学们,所以一定要远离大货车的盲区,保护自身安全.小刚所在的学习小组为了更好的分析大货车盲区的问题,将图1用平面图形进行表示,并标注了测量出的数据,如图2.在图2中大货车的形状为矩形,而盲区1为梯形,盲区2、盲区3为直角三角形,盲区4为正方形.

请你帮助小刚的学习小组解决下面的问题:

(1)盲区1的面积约是多少m2;盲区2的面积约是多少m2

≈1.4,≈1.7,sin25°≈0.4,cos25°≈0.9,tan25°≈05,结果保留整数)

(2)如果以大货车的中心A点为圆心,覆盖所有盲区的半径最小的圆为大货车的危险区域,请在图2中画出大货车的危险区域.

 

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22. 难度:中等

如图是边长为1的正方形网格,△A1B1C1的顶点均在格点上.

(1)在该网格中画出△A2B2C2(顶点均在格点上),使△A2B2C2∽△A1B1C1

(2)请写出(1)中作图的主要步骤,并说明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依据.

 

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23. 难度:中等

如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC.过点B作⊙O的切线,交AC的延长线于点D,在AD上取一点E,使AE=AB,连接BE,交⊙O于点F.

请补全图形并解决下面的问题:

(1)求证:∠BAE=2∠EBD;

(2)如果AB=5,sin∠EBD=.求BD的长.

 

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24. 难度:中等

小哲的姑妈经营一家花店,随着越来越多的人喜爱“多肉植物”,姑妈也打算销售“多肉植物”.小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后,绘制了以下两张图表:

(1)如果在三月份出售这种植物,单株获利多少元;

(2)请你运用所学知识,帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物,单株获利最大?(提示:单株获利=单株售价﹣单株成本)

 

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25. 难度:中等

如图,P是弧AB所对弦AB上一动点,过点P作PC⊥AB交弧AB于点C,取AP中点D,连接CD.已知AB=6cm,设A,P两点间的距离为xcm,C.D两点间的距离为ycm.(当点P与点A重合时,y的值为0;当点P与点B重合时,y的值为3)

小凡根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小凡的探究过程,请补充完整:

(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y/cm

0

2.2

 

3.2

3.4

3.3

3

 

(2)建立平面直角坐标系,描出补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;

 

 

 

 

(3)结合所画出的函数图象,解决问题:当∠C=30°时,AP的长度约为多少cm.

 

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26. 难度:简单

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a过点A(﹣1,0).

(1)求抛物线的对称轴;

(2)直线y=x+4与y轴交于点B,与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段BC有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.

 

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27. 难度:中等

如图,△ABC是等边三角形,D,E分别是AC,BC边上的点,且AD=CE,连接BD,AE相交于点F.

(1)∠BFE的度数是多少;

(2)如果,那么等于多少;

(3)如果时,请用含n的式子表示AF,BF的数量关系,并证明.

 

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28. 难度:中等

对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在一个点M,使得MP=MC,则称点P为⊙C的“等径点”,已知点D(),E(0,2),F(﹣2,0).

(1)当⊙O的半径为1时,

①在点D,E,F中,⊙O的“等径点”是哪几个点;

②作直线EF,若直线EF上的点T(m,n)是⊙O的“等径点”,求m的取值范围.

(2)过点E作EG⊥EF交x轴于点G,若△EFG各边上所有的点都是某个圆的“等径点”,求这个圆的半径r的取值范围.

 

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