人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元测试5

一、单选题

1. 难度：中等

把二次函数y=x²-4x+1化成y=a（x-h）²+k的形式是（　　）

A. y=（x-2）²+1    B. y=（x-2）²-1    C. y=（x-2）²-3    D. y=（x-2）²+3

2. 难度：简单

抛物线y＝－(x－1)²＋2的顶点坐标是（    ）

A. (－1，2)    B. (－1，－2)    C. (1，－2)    D. (1，2)

3. 难度：简单

将抛物线y=x²－4x－4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的解析式为（    ）

A. y=(x+1)²－13    B. y=(x－5)²－3    C. y=(x－5)²－13    D. y=(x+1)²－3

4. 难度：简单

已知二次函数y＝a(x－1)²＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(　　)

A. a≥0    B. a≤0    C. a＞0    D. a＜0

5. 难度：中等

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②b²=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（　 　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

6. 难度：简单

在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x²+a的图象可能是(　　)

A.     B.     C.     D.

7. 难度：简单

对于下列结论：①二次函数y=6x²，当x＞0时，y随x的增大而增大；②关于x的方程a（x+m）²+b=0的解是x₁=﹣2，x₂=1（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）²+b=0的解是x₁=﹣4，x₂=﹣1；③设二次函数y=x²+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（　　）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

8. 难度：简单

某商品经过连续两次降价，销售单价由原来 100 元降到 81 元。设平均每次降价的百分率为 x，根据题意可列方程为（   ）

A. 81(1-x)²=100    B. 100(1+x)²=81    C. 81(1+x)²=100    D. 100(1-x)²=81

9. 难度：简单

某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x²＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是    (    )

   A．4米             B．3米            C．2米              D．1米

二、填空题

10. 难度：简单

试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为________.

11. 难度：简单

对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为_____．

12. 难度：简单

已知函数 （k为常数）的图象经过点A（1，y₁）， B（2，y₂），C（-3，y₃），则y₁， y₂，y₃从小到大排列顺序为_______________

13. 难度：中等

二次函数y=ax²﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax²﹣2ax+3=0的解为________

14. 难度：中等

二次函数y=（x-1）²+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为_____________．

15. 难度：困难

二次函数y=x²+bx的图像如图所示，对称轴为x=2，若关于x的一元二次方程x²+bx-t=0(t为实数)在-1＜x＜6的范围内无解，则的取值范围是___.

16. 难度：简单

对于抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），有下列说法：

①当b=a+c时，则抛物线y=ax²+bx+c一定经过一个定点（-1，0）；

②若△=b²-4ac＞0，则抛物线y=cx²+bx+a与x轴必有两个不同的交点；

③若b=2a+3c，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴必有两个不同的交点；

④若a＞0，b＞a+c，则抛物线y=ax²+bx+c与x轴必有两个不同的交点；

其中正确的有              ．

17. 难度：中等

如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了_____m（结果保留根号）．

三、解答题

18. 难度：中等

已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式．

19. 难度：中等

已知抛物线的最高点为P（3，4），且经过点A（0，1），求的解析式。

20. 难度：简单

已知二次函数y=﹣x²+4x．

（1）写出二次函数y=﹣x²+4x图象的对称轴；

（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；

（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数 y = kx²  + (k +1)x +1（k 为实数），   

（1）当 k＝3 时，求此函数图象与 x 轴的交点坐标；   

（2）判断此函数与 x 轴的交点个数，并说明理由；   

（3）当此函数图象为抛物线，且顶点在 x 轴下方，顶点到 y 轴的距离为 2，求 k 的值．

22. 难度：中等

已知，如图，直线l经过A（4，0）和B（0，4）两点，抛物线y=a（x﹣h）²的顶点为P（1，0），直线l与抛物线的交点为M．

（1）求直线l的函数解析式；

（2）若S_△AMP=3，求抛物线的解析式．

23. 难度：中等

某商场有A，B两种商品，若买2件A商品和1件B商品，共需80元；若买3件A商品和2件B商品，共需135元．

（1）设A，B两种商品每件售价分别为a元、b元，求a、b的值；

（2）B商品每件的成本是20元，根据市场调查：若按（1）中求出的单价销售，该商场每天销售B商品100件；若销售单价每上涨1元，B商品每天的销售量就减少5件．

①求每天B商品的销售利润y（元）与销售单价（x）元之间的函数关系？

②求销售单价为多少元时，B商品每天的销售利润最大，最大利润是多少？

24. 难度：困难

已知抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25. 难度：困难

如图，二次函数y=ax²-2ax+3(a≠0)的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中AB=4，连接BC．

（1）求二次函数的对称轴和函数表达式；

（2）若点M是线段BC上的动点，设点M的横坐标为m，过点M作MN∥y轴交抛物线于点N，求线段MN的最大值．

（3）当0≤x≤t，则3≤y≤4，直接写出t的取值范围；

26. 难度：中等

如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y₁=﹣x+m与二次函数y₂=ax²+bx﹣3的图象上．

（1）求m的值和二次函数的解析式．

（2）请直接写出使y₁＞y₂时自变量x的取值范围． 

27. 难度：简单

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．

（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上。B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.