北师大版九年级下册数学单元检测试卷：第2章 二次函数

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线y=2x²﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（　　）

A. 0个    B. 1个    C. 2个    D. 3个

2. 难度：中等

对于抛物线y=﹣2（x+1）²+3，下列结论：

①抛物线的开口向下；

②对称轴为直线x=1：

③顶点坐标为（﹣1，3）；

④x＞1时，y随x的增大而减小．

其中正确结论的个数为（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

3. 难度：中等

已知二次函数y=x²－x＋a(a＞0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（　　）

A. m－1的函数值小于0    B. m－1的函数值大于0

C. m－1的函数值等于0    D. m－1的函数值与0的大小关系不确定

4. 难度：困难

若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(    )

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

如图，抛物线y=﹣x²+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（　　）

A. 2    B. 3    C. 5    D. +

6. 难度：困难

二次函数y＝ax²＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③当m≠1时，a＋b>am²＋bm；④a－b＋c>0；⑤若a＋bx₁＝a＋bx₂且x₁≠x₂，则x₁＋x₂＝2，其中正确的有(  )

A. ①②③    B. ②④    C. ②⑤    D. ②③⑤

7. 难度：简单

下列各点中，抛物线y＝x²﹣4x﹣4经过的点是(    )

A. (0，4)    B. (1，﹣7)

C. (﹣1，﹣1)    D. (2，8)

8. 难度：中等

将函数y=kx²与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（　　）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b²﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 0个

10. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中正确的结论有（　　）

A. ①③    B. ②③    C. ①④    D. ②④

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数y=3（x﹣1）²+k的图象上三点A（2，y₁），B（3，y₂），C（﹣4，y₃），则y₁、y₂、y₃的大小关系是_____．

12. 难度：中等

若A(－，y₁)、B(－，y₂)、C(3，y₃)为二次函数y=－x²－4x+5的图象上的三点，则y₁、y₂、y₃的大小关系是_________（用“＜”连接）．

13. 难度：中等

函数y=﹣3（x+2）²的开口_____，对称轴是_____，顶点坐标为_____．

14. 难度：中等

已知抛物线y=﹣x²+bx+2﹣b，在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，函数有最大值m，则m的最小值是_____

15. 难度：困难

如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为_____．

16. 难度：中等

对于二次函数y=5x²+bx+c，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____．

三、解答题

17. 难度：中等

一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	﹣	0		2		0	m	﹣6	﹣	…

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求m的值；

（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；

（4）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．

18. 难度：中等

某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）	…	30	40	50	…
每天的销售量y（个）		100	80	60	…

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式；

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

19. 难度：困难

如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax²+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．

（1）求a及AB的长．

（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．

（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）连结OC，若S_△BDC：S_△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．

20. 难度：困难

如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A₁的横坐标．

21. 难度：困难

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．

（1）求抛物线解析式；

（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．

22. 难度：困难

如图，抛物线y=﹣x²+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

23. 难度：中等

建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：

如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2米，此时水位上升了多少米？

24. 难度：中等

如图，点P为抛物线y=x²上一动点．

（1）若抛物线y=x²是由抛物线y=（x+2）²﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；

（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．

①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．

②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1.5），求QP+PF的最小值．