吉林省辽源市2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列图案均是名车的标志，在这些图案中，是中心对称图形的有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

2. 难度：中等

已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过点M（-2，2），则k的值是

A. -4    B. -1    C. 1    D. 4

3. 难度：中等

抛物线y＝x²+2x+3的对称轴是（　　）

A. 直线x＝1    B. 直线x＝﹣1    C. 直线x＝﹣2    D. 直线x＝2

4. 难度：中等

（2015秋•滦县期末）在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（ ）

A. 10m    B. 12m    C. 15m    D. 40m

5. 难度：简单

“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为（　　）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

如图，把直角△ABC的斜边AC放在直线l上，按顺时针的方向在直线l上转动两次，使它转到△A₂B₁C₂的位置，设AB＝ ，∠BAC＝30°，则顶点A运动到点A₂的位置时，点A所经过的路线为（　　）

A. （ +）π    B. （ +）π    C. 2π    D. π

二、填空题

7. 难度：简单

已知点P（，1）关于原点的对称点在第四象限，则的取值范围是____________．

8. 难度：简单

若一元二次方程ax²﹣bx﹣2018＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝____．

9. 难度：中等

若关于的一元二次方程(m-1)x²-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为_____________．

10. 难度：简单

已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）²+3，当x_____时，y随x的增大而减小．

11. 难度：简单

已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是_____．

12. 难度：中等

如图，边长为6cm的正三角形内接于⊙O，则阴影部分的面积为（结果保留π）_____．

13. 难度：简单

如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y=的图象过点A，则k=_____．

14. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x²﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为_____．

三、解答题

15. 难度：中等

用公式法解方程：3x²﹣6x+1＝2．

四、填空题

16. 难度：中等

下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．

已知：弧AB．

求作：弧AB所在的圆．

作法：如图，

（1）在弧AB上任取三个点D，C，E；

（2）连接DC，EC；

（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．

（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．

请回答：该尺规作图的依据是_____．

五、解答题

17. 难度：中等

一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．

（1）求口袋中黄球的个数；

（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，

求两次摸 出都是红球的概率；

18. 难度：中等

某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

19. 难度：中等

如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：

第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D₁；

第二步：点D₁绕点B顺时针旋转90°得到点D₂；

第三步：点D₂绕点C顺时针旋转90°回到点D．

（1）请用圆规画出点D→D₁→D₂→D经过的路径；

（2）所画图形是什么对称图形；

（3）求所画图形的周长（结果保留π）．

20. 难度：中等

如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．

（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是　  （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是　   　，求出你所选方案中的抛物线的表达式；

（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y₁=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y₂=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）

（1）求反比例函数与一次函数的解析式；

（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；

（3）直接写出当y₁＜y₂时，自变量x的取值范围．

22. 难度：中等

如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．

（1）求证：直线PB与⊙O相切；

（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．

23. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．

（1）求n的值；

（2）若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

24. 难度：困难

结果如此巧合!

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，求△ABC的面积．

【解析】
设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．

根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x．

根据勾股定理，得（x+3）²+（x+4）²=（3+4）²．

整理，得x²+7x=12．

所以S_△ABC=AC•BC

=（x+3）（x+4）

=（x²+7x+12）

=×（12+12）

=12．

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．

可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．

倒过来思考呢？

（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．

改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

25. 难度：困难

如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．

（1）当AE＝8时，求EF的长；

（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

26. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x²+2x+3经过点A、C、A′三点．

（1）求A、A′、C三点的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．