2019届九年级下学期 北师大版第二章 《 二次函数》 单元培优卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列四点，在函数y＝x²+1的图象上的是（      ）.

A. （1，0）    B. （0，1）    C. （0，﹣1）    D. （﹣1，0）

2. 难度：中等

已知（﹣1，y₁），（2，y₂），（3，y₃）在二次函数y＝﹣x²+4x+c的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系正确的是（　　）

A. y₁＜y₂＜y₃    B. y₃＜y₂＜y₁    C. y₃＜y₁＜y₂    D. y₁＜y₃＜y₂

3. 难度：中等

已知二次函数y=ax²+bx+c(d≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） 

A. abc<0

B. 2a+b<0

C. b²-4ac<0

D. a+b+c<0

4. 难度：中等

若抛物线y＝ax²+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣4，3）和点（8，3），则抛物线y＝ax²+bx﹣3（a≠0）的对称轴是直线（　　）

A. x＝1    B. x＝2    C. x＝3    D. x＝﹣1

5. 难度：中等

将抛物线y＝ax²+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y＝﹣(x+2)²+3，则（　　）

A. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10    B. a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16

C. a＝﹣1，b＝0，c＝0    D. a＝﹣1，b＝0，c＝6

6. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，若在抛物线上有且只有三个不同的点C₁、C₂、C₃，使得△ABC₁、△ABC₂、△ABC₃的面积都等于m，则m的值是（　　）

A. 6    B. 8    C. 12    D. 16

7. 难度：简单

已知二次函数y＝﹣x²+3x+1，现有下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x＝1；③当x＜时，函数值y随x的增大而增大；④方程﹣x²+3x+1＝0有一个根大于4．其中正确的结论有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

8. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²﹣x﹣6＝m（m＜0）的两根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，则下列正确的是（　　）

A. ﹣3＜x₁＜x₂＜2    B. ﹣2＜x₁＜x₂＜3    C. x₁＜﹣3，x₂＞2    D. x₁＜﹣2，x₂＞3

9. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b²＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（　　）

A. ①④    B. ②④    C. ①②③    D. ①②③④

二、填空题

10. 难度：中等

已知A（﹣2，y₁）、B（﹣3，y₂）是抛物线y＝（x﹣1）²+c上两点，则y₁_____y₂．（填“＞”、“＝”或“＜”）

11. 难度：中等

抛物线y＝x²+2x与y轴的交点坐标是_____．

12. 难度：中等

二次函数y＝x²+bx+c图象的对称轴在直线x＝1右侧，图象上两点A（n，1），B（﹣m，1）分别在第一象限和第二象限，则m﹣n的最大整数值是_____．

13. 难度：中等

如果抛物线y＝（3﹣m）x²﹣3有最高点，那么m的取值范围是_____．

14. 难度：中等

抛物线y＝﹣（x﹣4）²+2的最大值为_____．

15. 难度：中等

若直线y＝x+m与抛物线y＝x²+3x有交点，则m的取值范围是_____．

16. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．

17. 难度：中等

如图是二次函数y＝ax²+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，给出四个结论：①c＞0；②若B（﹣，y₁），C（﹣，y₂）为图象上的两点，则y₁＜y₂；③2a﹣b＝0；④＜0，其中正确的结论是_____．

三、解答题

18. 难度：中等

一个长方形的长是3xcm，宽比长少4cm，若将长方形的长和宽都增加2cm，求新长方形的面积比原长方形的面积增大了多少？

19. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)该抛物线交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．

20. 难度：中等

定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．

（1）①点A（1，3）的“坐标差”为　   　；

②抛物线y＝﹣x²+3x+4的“特征值”为　   　；

（2）某二次函数y＝﹣x²+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．

①直接写出m＝　   　；（用含c的式子表示）

②求此二次函数的表达式．

21. 难度：中等

如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t²．解答以下问题

（1）小球从飞出到落地要用多少时间？

（2）小球飞行的最大高度是多少？此时需要多少飞行时间？

22. 难度：中等

已知两个实数，其中一个比另一个大2，设其中较小的数为x，这两个实数的乘积为y，

（Ⅰ）用含有x的代数式表示较大的数为　   　（直接填在横线上）；

（Ⅱ）y与x的函数关系式为y＝　   　（直接填在横线上）；

（Ⅲ）这两个数各为多少时它们的乘积最小？

23. 难度：困难

如图，已知抛物线y＝﹣x²+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx+1经过点（2，6），且与直线y=x+1相交于A，B两点，点A在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P是直线AB上方该抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E，求线段PE的最大值；

（3）在（2）的条件，设PC与AB相交于点Q，当线段PC与BE相互平分时，请求出点Q的坐标．