北师大版九年级下册 第2章 二次函数 单元综合练习卷

一、单选题

1. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（　　）

A. a＝﹣2    B. a＝2    C. a＝1    D. a＝﹣1

2. 难度：简单

已知点A（1，y₁），B（2，y₂），C（4，y₃）在二次函数y＝x²﹣6x+c的图象上，则y₁，y₂，y₃的大小关系是（　　）

A. y₁＜y₂＜y ₃    B. y₂＜y₃＜y ₁    C. y₃＜y₂＜y₁    D. y₁＜y₃＜y₂

3. 难度：简单

已知二次函数y＝ax²+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（　　）

A. a＞0，b＞0    B. a＜0，b＞0    C. a＞0，b＜0    D. a＜0，b＜0

4. 难度：简单

已知二次函数y＝x²﹣2mx以下各点不可能成为二次函数顶点的是（　　）

A. （﹣2，4）    B. （﹣2，﹣4）    C. （﹣1，﹣1）    D. （1，﹣1）

5. 难度：简单

将二次函数y＝(x+1)²－2的图像沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）

A. y＝(x+3)²－2    B. y＝(x+3)²＋2

C. y＝(x-1)²＋2    D. y＝(x-1)²－2

6. 难度：简单

已知：二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…

那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A. （1，4） B. （2，0） C. （3，0） D. （4，0）

7. 难度：简单

如图，二次函数y＝x²﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则下列说法错误的是（　　）

A. AB＝4

B. ∠ABC＝45°

C. 当x＞0时，y＜﹣3

D. 当x＞1时，y随x的增大而增大

8. 难度：简单

某学习小组在研究函数y＝x³﹣2x的图象与性质时，列表、描点画出了图象．结合图象，可以“看出”x³﹣2x＝2实数根的个数为（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

二、解答题

9. 难度：简单

已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（　　）

A. b²﹣4ac＞0

B. a﹣b+c＞0

C. b＝﹣4a

D. 关于x的方程ax²+bx+c＝0的根是x₁＝﹣1，x₂＝5

三、填空题

10. 难度：简单

如果抛物线y＝ax²+2经过点（1，0），那么a的值为_____．

11. 难度：中等

若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于_____．

12. 难度：中等

已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．

13. 难度：简单

如果抛物线y＝（m﹣1）x²有最低点，那么m的取值范围为_____．

14. 难度：中等

已知函数y＝﹣x²+2x+1，当﹣1≤x≤a时，函数的最大值是2，则实数a的取值范围是_____．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝kx+5k（k为常数，k≠0）与抛物线y＝x²相交于A，B两点，且OA⊥OB，则k的值为_____．

16. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是___．

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…

17. 难度：中等

如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论正确的有_____（填序号）．

①若图象过点（﹣3，y₁）、（2，y₂），则y₁＜y₂；

②ac＜0；

③2a﹣b＝0；

④b²﹣4ac＜0．

四、解答题

18. 难度：中等

某学校有一块长方形活动场地，长为2x米，宽比长少5米．实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将操场的长和宽都增加了4米．

（1）求扩大后学生的活动场地的面积．（用含x的代数式表示）

（2）若x＝20，求活动场地扩大后增加的面积．

19. 难度：困难

已知：抛物线y＝mx²+（m﹣2）x﹣2m+2（m≠0）．

（1）求证：抛物线与x轴有交点；

（2）若抛物线与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），点A在点B的右侧，且x₁+2x₂＝1．

①求m的值；

②点P在抛物线上，点G（n，﹣n﹣），求PG的最小值．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax²﹣4ax+3a的对称轴交于点A（m，﹣1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的对称轴及a的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y＝kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．

①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

21. 难度：中等

某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元,经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件.

（1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？

（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

22. 难度：中等

分别用定长为a的线段围成矩形和圆．

（1）求围成矩形的面积的最大值；（用含a的式子表示）

（2）哪种图形的面积更大？为什么？

23. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x²+bx+c经过A、B两点．

（1）求点A的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 难度：困难

(12分)如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3)，B(﹣4，0)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求△BMC面积的最大值；

(3)在(2)中△BMC面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．