江苏省南京市鼓楼区2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

一元二次方程x（x﹣5）＝0的解是（      ）.

A. 0    B. 5    C. 0和5    D. 0和﹣5

2. 难度：中等

下列四点，在函数y＝x²+1的图象上的是（      ）.

A. （1，0）    B. （0，1）    C. （0，﹣1）    D. （﹣1，0）

3. 难度：中等

若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积的比为（　　）

A. 1：2    B. 1：4    C. 2：1    D. 4：1

4. 难度：中等

已知某扇形的圆心角为60°，半径为1，则该扇形的弧长为（      ）.

A. π    B.     C.     D.

5. 难度：中等

如图，若点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝2，则AP的长度是（　　）

A.     B.     C.     D.

6. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为(　　)

A.     B.     C.     D.

二、填空题

7. 难度：中等

若，则∠A＝___°．

8. 难度：中等

若，则的值为______．

9. 难度：中等

若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠C的度数是___．

10. 难度：中等

一元二次方程x²+kx﹣3＝0的一个根是x＝1，则另一个根是___．

11. 难度：中等

二次函数y＝x²﹣4x的图象的顶点坐标是___．

12. 难度：中等

圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于___（结果保留π）．

13. 难度：中等

如图，△ABC的中线BE、CD交于点G，则值为___．

14. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，当y＝0时，x的值是___．

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…

15. 难度：中等

如图，△ABC中，AB＝6，AC＝12，点D、E分别在AB、AC上，其中BD＝x，AE＝2x．当△ADE与△ABC相似时，x的值可能是___．

16. 难度：中等

如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若弧AC、弧BD的度数分别为60°、40°，则∠APC的度数为___．

三、解答题

17. 难度：中等

求下列各式的值：

（1）sin²30°+cos²30°

（2）sin45°cos45°+4tan30°sin60°

18. 难度：中等

解下列方程：

（1）x²﹣16＝0；

（2）x²﹣5x﹣6＝0．

19. 难度：中等

如图，在阳光下，身高1.7m的小明AB在地面上的影长BC为3.4m．在同一时刻，测得旗杆DE在地面的影长EF为24m，求旗杆DE的高度．

20. 难度：中等

如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C．

（1）求证：△ADB∽△ABC；

（2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长．

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，连接OC．

（1）求⊙O的半径；

（2）求sin∠COA的值．

22. 难度：中等

一块长方形菜地的面积是150m²，如果它的长减少5cm，那么它就成为正方形菜地．求这个长方形菜地的长和宽？

23. 难度：中等

已知二次函数y＝a（x﹣2）²﹣1的图象经过点（0，3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）直接写出y＞0时x的取值范围；

（3）该函数的图象通过左右平移可以经过原点，写出所有的平移方案．

24. 难度：中等

如图，为测量某建筑物EF的高度，小明在楼AB上选择观测点A、C，从A测得建筑物的顶部E的仰角为37°，从C测得建筑物的顶部E的仰角为45°，A处高度为20m，C处高度为10m．求建筑物EF的高度（精确到1m）．

（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37≈0.75，≈1.4）

25. 难度：中等

△ABC中，BC＝12，高AD＝8，矩形EFGH的一边GH在BC上，顶点E、F分别在AB、AC上，AD与EF交于点M．

（1）求证：；

（2）设EF＝x，EH＝y，写出y与x之间的函数表达式；

（3）设矩形EFGH的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并写出S的最大值．

26. 难度：中等

如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上的点，∠ACD＝2∠A，CE⊥DB交DB的延长线于点E．

（1）求证：直线CE与⊙O相切；

（2）若AC＝8，AB＝10，求CE的长．

27. 难度：中等

如图是某同学对一道作业题的解题思路，课堂上师生据此展开了讨论．问题如图，已知A（1，）、B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，求OC的长．思路：作AD⊥OB，CE⊥AB，CF⊥OA

①A坐标→OD＝1，AD＝，OA＝2→∠AOC＝60°；

②A、B坐标→OA＝2，OB＝4，AB＝2→∠OAB＝90°；

③AC平分∠OAB→CE＝CF；

④S_△AOC+S_△ABC＝S_△AOB→AO•CF+AB•CE＝OA•AB→CF＝3﹣；

⑤综上，Rt△OCF中，OC＝﹣2．可以优化吗？

（1）同学们发现不需要证“∠OAB＝90°”也能求解，简要说明理由．几位同学提出了不同的思路

①甲说：S_△AOC和S_△ABC的面积之比既是，又是，从而；

②乙说：在AB边上取点G，使AG＝AO，连接CG，可知BG的长即为所求；

③丙说：延长AC交△AOB的外接圆于N，再利用一次函数或相似求出OC．

请你选择其中一种解法，利用图2和已有步骤完成解答．有什么收获？

（2）面积法是图形问题中确定数量关系的有效方法，请利用面积法求【解析】
如图1，⊙O与△ABC的边AC，边BA、BC的延长线AE、CF相切，切点分别为D、E、F．设△ABC的面积为S，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请用含S、a、b、c的式子表示⊙O的半径R，直接写出结果．