北京市平谷区2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则∠A的度数是（　　）

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

2. 难度：简单

已知，则的值是（　　）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴所在直线的位置关系是（　　）

A. 相离    B. 相切    C. 相交    D. 相离或相交

4. 难度：简单

已知A（﹣2，y₁），B（﹣1，y₂）是反比例函数图象上的两个点，则y₁与y₂的大小关系是（　　）

A. y₁＜y₂    B. y₁≤y₂    C. y₁＞y₂    D. y₁≥y₂

5. 难度：中等

如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（　　）

A. 5    B. 10    C. 8    D. 6

6. 难度：简单

若二次函数y＝kx²﹣4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A. k≤4    B. k≥4    C. k＞4且k≠0    D. k≤4且k≠0

7. 难度：简单

如图，已知正方形ABCD的边长为1．将对角线BD绕着点B逆时针旋转，使点D落在CB的延长线上的D′点处，那么tan∠AD′B的值是（　　）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：简单

已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包含这两个点）运动．有如下四个结论：①抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；②点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）在抛物线上，且满足x₁＜x₂＜1，则y₁＞y₂；③常数项c的取值范围是2≤c≤3；④系数a的取值范围是﹣1≤a≤﹣．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）

A. ①②③    B. ②③④    C. ①④    D. ①③④

二、填空题

9. 难度：简单

函数中，自变量的取值范围是       .

10. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，则sinB的值是_____．

11. 难度：简单

一个扇形的圆心角为60°半径为6cm，则这个扇形的弧长为_____cm．（结果保留π）

12. 难度：简单

如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D＝_____度．

13. 难度：简单

函数y＝x²经过一次变换得到y＝（x+3）²，请写出这次变换过程_____．

14. 难度：中等

请写出一个过点（﹣1，1），且函数值y随自变量x的增大而增大的函数表达式_____．

15. 难度：中等

如图，小东用长2米的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆的高度AB，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O．此时，OD＝3米，DB＝9米，则旗杆AB的高为_____米．

16. 难度：中等

如图是二次函数y＝﹣x²+4x的图象，若关于x的一元二次方程﹣x²+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是_____．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：．

18. 难度：中等

已知：直线l和l外一点C．

求作：经过点C且垂直于l的直线．

作法：如图，

（1）在直线l上任取点A；

（2）以点C为圆心，AC为半径作圆，交直线l于点B；

（3）分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D；

（4）作直线CD．

所以直线CD就是所求作的垂线．

（1）请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接AC，BC，AD，BD．

∵AC＝BC，　   　＝　   　，

∴CD⊥AB（依据：　   　）．

19. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，点E是AD中点，连接BE，AC，交于点O．求的值．

20. 难度：中等

二次函数y＝ax²﹣2ax﹣3（a≠0）的图象经过点A．

（1）求二次函数的对称轴；

（2）当A（﹣1，0）时，

①求此时二次函数的表达式；

②把y＝ax²﹣2ax﹣3化为y＝a（x﹣h）²+k的形式，并写出顶点坐标；

③画出函数的图象．

四、填空题

21. 难度：中等

如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______米结果保留根号．

五、解答题

22. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．

（1）求k的值；

（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．

24. 难度：中等

如图，点O是Rt△ABC的AB边上一点，∠ACB＝90°，⊙O与AC相切于点D，与边AB，BC分别相交于点E，F．

(1)求证：DE＝DF；

(2)当BC＝3，sinA＝时，求AE的长．

25. 难度：中等

如图，点P是弧AB所对弦AB上一动点，过点P作PC⊥AB交AB于点P，作射线AC交弧AB于点D．已知AB＝6cm，PC＝1cm，设A，P两点间的距离为xcm，A，D两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，y的值为0）

小平根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小平的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	4.24	5.37	m	5.82	5.88	5.92

经测量m的值是　   　（保留一位小数）．

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当∠PAC＝30°，AD的长度约为　   　cm．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+bx+3（a≠0）经过（1，0），且与y轴交于点C．

（1）直接写出点C的坐标　   　；

（2）求a，b的数量关系；

（3）点D（t，3）是抛物线y＝ax²+bx+3上一点（点D不与点C重合）．

①当t＝3时，求抛物线的表达式；

②当3＜CD＜4时，求a的取值范围．

27. 难度：中等

如图，正方形ABCD，将边CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE，连接DE，AE，BD交于点F．

(1)求∠AFB的度数；

(2)求证：BF＝EF；

(3)连接CF，直接用等式表示线段AB，CF，EF的数量关系．

28. 难度：困难

顺次连接平面直角坐标系xOy中，任意的三个点P，Q，G．如果∠PQG＝90°，那么称∠PQG为“黄金角”．

已知：点A（0，3），B（2，3），C（3，4），D（4，3）．

（1）在A，B，C，D四个点中能够围成“黄金角”的点是　   　；

（2）当时，直线y＝kx+3（k≠0）与以OP为直径的圆交于点Q（点Q与点O，P不重合），当∠OQP是“黄金角”时，求k的取值范围；

（3）当P（t，0）时，以OP为直径的圆与△BCD的任一边交于点Q，当∠OQP是“黄金角”时，求t的取值范围．