广东省2019届九年级上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A. k≤5    B. k≤5，且k≠1    C. k＜5，且k≠1    D. k＜5

2. 难度：简单

下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

四边形ABCD内接于圆，∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可能是（　　）

A. 1：3：2：4    B. 7：5：10：8    C. 13：1：5：17    D. 1：2：3：4

4. 难度：简单

若⊙O的半径为6cm，PO＝8cm，则点P的位置是（　　）

A. 在⊙O外    B. 在⊙O上    C. 在⊙O内    D. 不能确定

5. 难度：简单

已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（　　）

A. 图象必经过点（﹣3，2）    B. 图象位于第二、四象限

C. 若x＜﹣2，则0＜y＜3    D. 在每一个象限内，y随x值的增大而减小

6. 难度：简单

如图，抛物线y＝﹣2x²+4x与x轴交于点O、A，把抛物线在x轴及其上方的部分记为C₁，将C₁以y铀为对称轴作轴对称得到C₂，C₂与x轴交于点B，若直线y＝x+m与C₁，C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ）

A. 0<m<    B. ＜m＜

C. 0＜m＜    D. m＜或m＜

7. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b²＞4ac③a+b+c＜0；④2a+b+c＝0，其中正确的是（　　）

A. ①④    B. ②④    C. ①②③    D. ①②③④

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，再把△A₁B₁C₁绕点C₁顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₁，则点A的对应点A₂的坐标是（　　）

A. （5，2）    B. （1，0）    C. （3，﹣1）    D. （5，﹣2）

9. 难度：中等

某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（　　）

A. 56元    B. 57元    C. 59元    D. 57元或59元

10. 难度：中等

如图所示双曲线y＝与y＝﹣分别位于第三象限和第二象限，A是y轴上任意一点，B是y＝﹣上的点，C是y＝上的点，线段BC⊥x轴于D，且4BD＝3CD，则下列说法：①双曲线y＝在每个象限内，y随x的增大而减小；②若点B的横坐标为﹣3，则C点的坐标为（﹣3，）；③k＝4；④△ABC的面积为定值7，正确的有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

二、填空题

11. 难度：中等

设α，β是方程x²﹣x﹣2019＝0的两个实数根，则α³﹣2021α﹣β的值为_____；

12. 难度：中等

抛物线y＝x²﹣6x+5向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是_____．

13. 难度：简单

如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转角为_____．

14. 难度：简单

某鱼塘养了200条鲤鱼、若干条草鱼和150条鲢鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右．若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率为_____．

15. 难度：中等

.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是_______．

16. 难度：简单

建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上这样做的依据是：______．

三、解答题

17. 难度：简单

解一元二次方程：3x²﹣1＝2x+5．

18. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．

(1)求扇形OAC的面积；

(2)求弦CD的长．

19. 难度：中等

某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过xmin时，A、B两组材料的温度分别为y_A℃、y_B℃，y_A、y_B与x的函数关系式分别为y_A＝kx+b，y_B＝（x﹣60）²+m（部分图象如图所示），当x＝40时，两组材料的温度相同．

（1）分别求y_A、y_B关于x的函数关系式；

（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？

（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

20. 难度：中等

某镇为打造“绿色小镇”，投入资金进行河道治污．已知2016年投入资金1000万元，2018年投入资金1210万元．

（1）求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率；

（2）若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变，求该镇2019年预计投入资金多少万元？

21. 难度：困难

截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

22. 难度：中等

一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．

（Ⅰ）请用列表法（或画树状图法）列出所有可能的结果；

（Ⅱ）求两次取出的小球标号相同的概率；

（Ⅲ）求两次取出的小球标号的和大于6的概率．

23. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，作AC⊥x轴于点C．

（1）求k的值；

（2）直线y＝ax+b（a≠0）图象经过点A交x轴于点B，且OB＝2AC．求a的值．

24. 难度：中等

如图，已知AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，D为的中点，过D作EF∥BC交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．

（Ⅰ）求证：EF为⊙O的切线；

（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的长．

25. 难度：中等

如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AD＝15，AO＝12．动点P以每秒2个单位的速度从点A出发，沿AC向点C匀速运动．同时，动点Q以每秒1个单位的速度从点D出发，沿DB向点B匀速运动．当其中有一点列达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）求线段DO的长；

（2）设运动过程中△POQ两直角边的和为y，请求出y关于x的函数解析式；

（3）请直接写出点P在线段OC上，点Q在线段DO上运动时，△POQ面积的最大值，并写出此时的t值．