北京市大兴区2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

若，则下列比例式一定成立的是（  ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sinA的值为(　　)

A.     B.     C.     D.

3. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，且DE∥BC．若AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的长为(　 　)

A. 3    B. 6    C. 9    D. 12

4. 难度：中等

若点A（a，b）在双曲线上，则代数式2ab﹣4的值为（　　）

A. ﹣1    B. 1    C. 6    D. 9

5. 难度：中等

把抛物线y＝2(x﹣3)²+k向下平移1个单位长度后经过点(2，3)，则k的值是(    )

A. 2 B. 1 C. 0 D. ﹣1

6. 难度：中等

如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（  ）　

A. 2    B.     C.     D.

7. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的位置如图所示，抛物线经过A，B，则下列说法不正确的是（  ）

A. 抛物线的开口向上    B. 抛物线的对称轴是

C. 点B在抛物线对称轴的左侧    D. 抛物线的顶点在第四象限

8. 难度：中等

如图，点A，B，C是⊙O上的三个点，点D在BC的延长线上.有如下四个结论：①在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BCE=∠DCE；②在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得∠BAE=∠AEC；③在∠ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分∠AEC；④在∠ABC所对的弧上任意取一点E(不与点A，C重合) ，∠DCE=∠ABO +∠AEO均成立.上述结论中，所有正确结论的序号是（  ）

A. ①②③    B. ①③④    C. ②④    D. ①②③④

二、填空题

9. 难度：中等

抛物线y=（x﹣1）²+2的顶点坐标是_____．

10. 难度：中等

如图，在□ABCD中，点E在DC上，连接BE交对角线AC于点F，若 DE ： EC = 1：3，则S_△EFC：S_△BFA=_____.

11. 难度：中等

已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是_____cm．

12. 难度：中等

如图，⊙O的半径OA垂直于弦BC，垂足是D，OA=5，AD：OD=1：4，则BC的长为________．

13. 难度：中等

在△ABC中，，则sinA=_______.

14. 难度：中等

已知在同一坐标系中，抛物线y₁＝ax²的开口向上，且它的开口比抛物线y₂＝3x²+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，交AB于点C．若点B在x轴上，点A的坐标为(6，4)，则△BOC的面积为______．

16. 难度：中等

已知抛物线y＝ax²+bx+c经过A（0，2），B（4，2），对于任意a＞0，点P（m，n）均不在抛物线上．若n＞2，则m的取值范围是_____．

三、解答题

17. 难度：中等

计算：.

18. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.

（1）求证：△ACD∽△ABC；

（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．

19. 难度：中等

下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.

已知：⊙O.

求作：⊙O的内接等腰直角三角形.

作法：如图，

①作直径AB；

②分别以点A，B为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧交于M，N两点；

③作直线MN交⊙O于点C，D；

④连接AC，BC．

所以△ABC就是所求作的三角形.

根据小松设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：∵AB是直径， C是⊙O上一点

∴ ∠ACB=         (                  ) (填写推理依据)

∵AC=BC(                )(填写推理依据)

∴△ABC是等腰直角三角形.

20. 难度：简单

已知二次函数y＝x²+bx+c的图象经过（1，0）和（4，﹣3）两点．求这个二次函数的表达式．

21. 难度：中等

如图，△ABC中，∠A=30°，，．求BC的长.

22. 难度：中等

如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下：在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D (点B，C，D在同一条直线上)，AB⊥BD，∠ACB＝45°，CD＝20米，且．若测得∠ADB＝25°，请你帮助小李求河的宽度AB.（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果精确到0.1米）．

23. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3），B（1，0），连接BA，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，反比例函数y＝的图象G经过点C．

（1）请直接写出点C的坐标及k的值；

（2）若点P在图象G上，且∠POB＝∠BAO，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，若Q（0，m）为y轴正半轴上一点，过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M，与直线OP交于点N，若点M在点N左侧，结合图象，直接写出m的取值范围．

24. 难度：中等

如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA＝∠ADC．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的长．

25. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，P是CB边上一动点，连接AP，作PQ⊥AP交AB于Q．已知AC＝3cm，BC＝6cm，设PC的长度为xcm，BQ的长度为ycm．

小青同学根据学习函数的经验对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小青同学的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y的几组对应值；

x/cm	0	0.5	1.0	1.5	2.0	2.5	3	3.5	4	4.5	5	6
y/cm	0	1.56	2.24	2.51	m	2.45	2.24	1.96	1.63	1.26	0.86	0

（说明：补全表格时，相关数据保留一位小数）

m的值约为多少cm；

（2）在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点（x，y），画出该函数的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：

①当y＞2时，写出对应的x的取值范围；

②若点P不与B，C两点重合，是否存在点P，使得BQ＝BP？

26. 难度：困难

已知抛物线.

（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；

（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；

（3）设抛物线与轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线的对称点恰好是点M，求的值.

27. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E为线段AB上一动点（不与点A，B重合），连接CE，将∠ACE的两边CE，CA分别绕点C顺时针旋转90°，得到射线CE^，，CA^，，过点A作AB的垂线AD，分别交射线CE^，，CA^，于点F，G.

（1）依题意补全图形；

（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示线段AE，AF与BC之间的数量关系，并证明．

28. 难度：困难

对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如：在平面直角坐标系xOy中，以点（1，1）为圆心，1为半径的圆是x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”.

(1)下列各点中，可以作为x轴与y轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是哪些；

A（2，2），B（3，1），C（-1，0），D（1，-1）

(2)若⊙P为y轴和直线 l：所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P的半径为1，求点P的坐标.

(3)若 ⊙Q为x轴和直线所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙Q的半径，直接写出点Q横坐标的取值范围.