河北省承德市丰宁县2019届九年级上学期期末模拟考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的度数是（　　）

A. 90°    B. 60°    C. 45°    D. 30°

2. 难度：中等

抛物线y＝(x﹣2)²+3的顶点坐标是(   )

A. (2，3) B. (﹣2，3)

C. (2，﹣3) D. (﹣2，﹣3)

3. 难度：简单

方程x²＝4x的根是(   )

A. x＝4 B. x＝0 C. x₁＝0，x₂＝4 D. x₁＝0，x₂＝﹣4

4. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：简单

如图，⊙的弦，是的中点，且，则⊙的直径等于（    ）

A. 8    B. 2    C. 10    D. 5

6. 难度：中等

如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S₁，S₂，则(    )

A. S₁＝S₂ B. S₁＝S₂ C. S₁＝S₂ D. S₁＝S₂

7. 难度：中等

点M(a，2a)在反比例函数y＝的图象上，那么a的值是(    )

A. 4 B. ﹣4 C. 2 D. ±2

8. 难度：简单

一元二次方程配方后可变形为（   ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：简单

如图，半径为的中，弦，所对的圆心角分别是，，若，，则弦的长等于（   ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为（　　）

A.     B.     C. 1-    D. 1-

11. 难度：简单

已知反比例函数y＝﹣，下列结论中不正确的是（　　）

A. 图象必经过点（﹣3，2）    B. 图象位于第二、四象限

C. 若x＜﹣2，则0＜y＜3    D. 在每一个象限内，y随x值的增大而减小

12. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则CD为（　　）

A.     B.     C. 2    D. 3

13. 难度：简单

图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣（x﹣80）²+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）

A. 16米    B. 米    C. 16米    D. 米

14. 难度：简单

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞﹣3b；（3）7a﹣3b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y₁）、点B（﹣，y₂）、点C（7，y₃）在该函数图象上，则y₁＜y₃＜y₂；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x₁和x₂，且x₁＜x₂，则x₁＜﹣1＜5＜x₂．其中正确的结论有（　　）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

15. 难度：中等

如图，是⊙的直径，是⊙的切线，点在⊙上，，，，则的长为（    ）

A.     B.     C.     D.

16. 难度：中等

如图，在直角梯形中，，，，若在线段上取一点，使得以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有（     ）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

二、填空题

17. 难度：中等

点A（﹣3，m）和点B（n，2）关于原点对称，则m+n=_____．

18. 难度：中等

如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数（为常数，）的图像上，正方形的面积为4，且，则值为________.

19. 难度：困难

如图，直角中，，，，以为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是________.（结果保留）

20. 难度：中等

如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF//BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF，若S_△AEF=1，则S_△ADF的值为________．

三、解答题

21. 难度：简单

用适当的方法解下列方程.

（1）；

（2）.

22. 难度：中等

一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，

（1）求等边三角形的高；

（2）求CE的长度；

（3）若将等边三角形ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），求α为多少时，等边三角形的边所在的直线与圆相切．

23. 难度：中等

如图，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且经过点，与轴交于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断的形状，并说明理由；

（3）经过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若，试求出点的坐标.

24. 难度：中等

温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击，一次，温州气象局测得台风中心在温州市的正西方向300千米的处，以每小时千米的速度向东偏南的方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域，试问：

（1）台风中心在移动过程中离温州市最近距离是多少千米？

（2）温州市是否受台风影响？若不会受到，请说明理由；若会受到，求出温州市受台风严重影响的时间.

25. 难度：中等

某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求与之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为（元），则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由.

26. 难度：困难

阅读下列材料，完成任务：

自相似图形

定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．

任务：

（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为　   　；

（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为　   　；

（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD＝a，宽AB＝b（a＞b）．

请从下列A、B两题中任选一条作答：我选择　   　题．

A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝　   　（用含b的式子表示）；

②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a＝　   　（用含n，b的式子表示）；

B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝　   　（用含b的式子表示）；

②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a＝　   　（用含m，n，b的式子表示）．