人教版八年级下册 第十七章 勾股定理单元综合题

一、单选题

1. 难度：中等

如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为  （ ）

（A）115cm      （B）125 cm      （C）135cm      （D）145cm

2. 难度：中等

如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是(　　)

A. 13cm    B. 2cm    C. cm    D. 2cm

3. 难度：中等

如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（ ）

A. 5m    B. 12m    C. 13m    D. 18m

4. 难度：中等

如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》（也称《赵爽弦图》），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为（    ）

A. 13    B. 19    C. 25    D. 169

5. 难度：中等

从电杆上离地面5 m的C处向地面拉一条长为7 m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是(　　)

A. 24

B. 12

C.

D. 2

6. 难度：简单

如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（ ）

A. 45m    B. 40m    C. 50m    D. 56m

7. 难度：简单

如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　)

A. 4米 B. 3米

C. 5米 D. 7米

8. 难度：中等

在△ABC中,三边长满足b²-a²=c²,则互余的一对角是(    　)

A. ∠A与∠B    B. ∠B与∠C    C. ∠A与∠C    D. 以上都不正确

9. 难度：中等

如图，长方体的长为15宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（   ）

 

A. 20    B. 25    C. 30    D. 32

10. 难度：中等

下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（    ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

11. 难度：中等

如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了_____cm．

12. 难度：中等

若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20cm，则直角三角形的面积是_________．

13. 难度：中等

如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，如果大正方形面积为169，且直角三角形中较短的直角边的长为5，则中间小正方形面积(阴影部分)为________．

14. 难度：中等

甲船以每小时16海里的速度从港口A出发向北偏东50°的方向航行，乙船以每小时12海里的速度同时从港口A出发向南偏东方向航行，离开港口2小时后两船相距40海里，则乙船向南偏东_____________°方向航行。

15. 难度：简单

如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是________．

16. 难度：中等

如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处，如果小强同学站在平安路与新兴大街的交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为____________ m.

 

17. 难度：中等

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为丈（丈尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是尺，根据题意，可列方程为__________．

18. 难度：中等

如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成               个直角三角形．

19. 难度：中等

在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦.3世纪，汉代赵爽在注解《周髀算经》时，通过对图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．在△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝13，AC＝12，则BC的长度为________．

20. 难度：中等

《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是_____尺．

三、解答题

21. 难度：简单

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．

(1)求AB的长；

(2)求△ABC的面积；

(3)求CD的长．

22. 难度：中等

阅读下列解题过程

已知a、b、c为△ABC为三边，且满足a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴，试判断△ABC的形状

【解析】
∵a²c²－b²c²＝a⁴－b⁴①

∴c²(a²－b²)＝(a²－b²)(a²＋b²)②

∴c²＝a²＋b²③

∴△ABC是直角三角形

回答下列问题：

(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号________．

(2)错误原因为________．

(3)本题正确结论是什么，并说明理由．

23. 难度：中等

如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．

24. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，AE是高，AC＝6，AD＝5，求AE的长．

25. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠DBC=90°，若AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求CD的长．
 

26. 难度：中等

在数轴上作出表示-的点（保留作图痕迹，不写作法）.

27. 难度：中等

如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AD＝3，DC＝4，AB＝12，BC＝13.求四边形ABCD的面积．

28. 难度：中等

已知a，b满足|a﹣|++（c﹣4）²＝0．

（1）求a，b，c的值；

（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状？并求出三角形的面积；若不能，请说明理由．