山东省青岛市即墨区2018届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为(　　)

A.     B.     C.     D.

2. 难度：中等

菱形具有而矩形不具有的性质是（　　）

A. 两组对边分别平行    B. 对角线相等

C. 对角线互相垂直    D. 两组对角分别相等

3. 难度：中等

用配方法解方程x²﹣6x＝3，配方正确的是（　　）

A. （x﹣3）²＝0    B. （x﹣3）²＝6    C. （x﹣3）²＝9    D. （x﹣3）²＝12

4. 难度：简单

如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（   ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

一个盒子里有完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，从中摸出一个数字记为a，则摸出的数字能满足关于x的方程x²+ax+1＝0无实数根的概率是（　　）

A. 0    B.     C.     D. 1

6. 难度：困难

如图，已知点P是不等边△ABC的边BC上的一点，点D在边AB或AC上，若由点P、D截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有（　　）

A. 2处

B. 3处

C. 4处

D. 5处

7. 难度：中等

二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是( )

8. 难度：中等

如图，已知抛物线l₁：y＝（x﹣2）²﹣4与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l₁向上平移得到l₂，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l₁、l₂、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为1₂，则抛物线l₂的函数表达式为（　　）

A. y＝（x﹣2）²﹣1    B. y＝（x﹣2）²+1    C. y＝（x﹣2）²﹣2    D. y＝（x﹣2）²+2

二、填空题

9. 难度：简单

为了估算湖里有多少条鱼,从湖里捕上100条做上标记,然后放回湖里,经过一段时间待标记的鱼全混合于鱼群中后,第二次捕得200条,发现其中带标记的鱼25条,我们可以估算湖里有鱼______条.

10. 难度：中等

二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1.5，其图象如图所示，对于下列说法：①a＞0； ②abc＜0；③a+b+c＜0；④当﹣1＜x＜4时，y＜0．其中正确的是_____（把正确说法的序号都填上）

11. 难度：中等

某种商品原价300元，连续两次降价x%后售价为192元，则x＝_____．

12. 难度：中等

如图，为了测量两个路灯之间的距离，小明在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.7m，两个路灯的高度都是8.5米，则AC＝_____m．

13. 难度：简单

如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT的长为_____．

14. 难度：中等

如图是一个腰长为4cm，底边长为3cm的等腰三角形，现在要利用这个等腰三角形加工出一个边长比是1：2的平行四边形，使平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长是_____．

三、解答题

15. 难度：中等

已知：如图，线段a，b

求作：一个以线段a为边长，线段b为对角线的菱形ABCD．

（保留作图痕迹，不写作法）

16. 难度：中等

（1）计算：2cos230°﹣sin45°+tan60°•tan45°

（2）利用公式法解下列方程：（x+2）（x﹣3）＝3x+2

17. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程2x²＋kx＋k－3＝0．

（1）若方程有一个根是1，求k的值；

（2）证明：不论k为何值，这个方程总有两个不相等的实数根．

18. 难度：中等

在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y．

（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率；

（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？

19. 难度：中等

周末小明约上小亮一起到马山公园游玩，如图所示，小明从家（A点）出发，沿着北偏西60°方向的道路行走2千米到达小亮家（B点），然后两人再沿着北偏东45°方向一起去马山公园（C点），到达马山公园后小明发现自己家（A点）正好在马山公园（C点）的正南方向，求小明家（A家）到马山公园（C点）的距离．

20. 难度：中等

如图，已知一次函数y＝2x﹣4与反比例函数y＝的图象相交于点A（a，2），与x轴相交于点B．

（1）求a和k的值；

（2）以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求菱形ABCD的面积．

21. 难度：中等

如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．

（1）BF和DE有怎样的数量关系？请证明你的结论；

（2）在其他条件都保持不变的是情况下，当点E运动到AC中点时，四边形AFBE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

22. 难度：中等

即墨素有“中国针织名城”的美誉，2016年，又被中国服装协会授予“中国童装名称”的称号，该区一网店销售某款童装，当每件售价80元时，每周可卖200件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20件．已知该款童装每件成本价60元，设该款童装每件售价x（60≤x≤80）元，每周的销售量为y件．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设每周的销售利润为W元，当每件售价定为多少元时，每周的销售利润最大，最大利润多少元？

23. 难度：中等

自主学习，请阅读下列解题过程．

解一元二次不等式：x²﹣3x＞0．

【解析】
设x²﹣3x＝0，解得：x₁＝0，x₂＝5．则抛物线y＝x²﹣3x与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0）．画出二次函数y＝x²﹣3x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x＜0或x＞3时函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x²﹣3x＞0，所以，一元二次不等式x²﹣3x＞0的解集为：x＜0或x＞3．

通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：

（1）上述解答过程中，渗透了下列数学思想中的　   　和　   　．（只填序号）

①转化思想  ②分类讨论思想  ③数形结合思想 ④整体思想

（2）一元二次不等式x²﹣3x＜0的解集为　   　．

（3）用类似的方法解一元二次不等式：x²﹣3x﹣4＜0的解集．

24. 难度：中等

已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC；

（2）设△AQP的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．