人教版八年级下册 第十七章 勾股定理 单元测试卷

一、单选题

1. 难度：中等

等腰三角形的底边长为24，底边上的高为5，它的腰长为(     )

A. 10    B. 11    C. 12    D. 13

2. 难度：简单

下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：简单

如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA₁，使∠AOA₁＝30°，再以OA₁为直角边作Rt△OA₁A₂，使∠A₁OA₂＝30°，……，依此法继续作下去，则A₁A₂的长为（　　）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：简单

如图，点O在线段AB上，AO＝2，OB＝1，OC为射线，且∠BOC＝60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．当△ABP是直角三角形时，t的值为（　　）

A.     B.     C. 1或    D. 1或

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到边AB的距离为(　　)

A. 2cm    B. 3cm    C. 4cm    D. 5cm

6. 难度：中等

如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x²+y²=49；②x-y=2；③2xy+4=49；④x+y=9.其中说法正确的是(    )

A. ①②    B. ①②③    C. ①②④    D. ①②③④

7. 难度：中等

如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE²+CF²的值为(　　)

A. 6    B. 9    C. 18    D. 36

8. 难度：简单

以下列各组数据为三角形的三边，能构成直角三角形的是（　　）

A. 1cm，3cm，3cm B. 2cm，2cm，2cm

C. 4cm，2cm，2cm D. cm，cm，1cm

9. 难度：中等

如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( )

A. 4 米    B. 5 米    C. 6 米    D. 7 米

10. 难度：中等

用四个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长(x>y)，给出下列四个结论：①+= 49；②x-y=2; ③2xy=45；④x+y=9．其中正确的结论是  (    )

A. ①②③    B. ①②③④    C. ①③    D. ②④

11. 难度：简单

如图，OC平分∠AOB，点P是OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为（　　）

A. 2    B. 3    C. 4    D. 5

12. 难度：中等

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，D为AB边上一动点，连接CD，△ACD与△A′CD关于直线CD轴对称，连接BA′，则BA′的最小值为（　　）

A.     B. 1    C.         D.

13. 难度：简单

四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为（　　）

A. 14S B. 13S C. 12S D. 11S

14. 难度：中等

如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　）

A. 6    B. 6π    C. 10π    D. 12

15. 难度：简单

如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为(　　)

A. 2.7米    B. 2.5米    C. 2米    D. 1.8米

16. 难度：简单

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则AB边上的高是(   )

A.     B.     C.     D.

二、填空题

17. 难度：中等

在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于_______．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，则△BED的周长为_____．

19. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=_____.

20. 难度：简单

若直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的斜边长是_____．

21. 难度：简单

一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出3.6cm，为节省材料，管长acm的取值范围是__．

三、解答题

22. 难度：中等

阅读：所谓勾股数就是满足方程x²+y²=z²的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：，y=mn，，其中m>n>0，m、n是互质的奇数．应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．

23. 难度：简单

如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于N，求证：AN²﹣BN²＝AC²

24. 难度：中等

(1)(操作发现)

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝　   　．

(2)(问题解决)

如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

(3)(灵活运用)

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1，求∠BPC的度数．

25. 难度：中等

如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3cm，AB＝6m，点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t＝1时，判断△APQ的形状，并说明理由；

（2）当t为何值时，△APQ与△CQP全等？请写出证明过程．

26. 难度：简单

如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．

（1）求BE的长；

（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．

27. 难度：简单

勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a²+b²＝c²．

28. 难度：中等

王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：

n	2	3	4	5	…
a	2^2−1	3^2−1	4^2−1	5^2−1	…
b	4	6	8	10	…
c	2^2+1	3^2+1	4^2+1	5^2+1	…

(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=___，b=___，c=___.

(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想?

(3)观察下列勾股数3²+4²=5²,5²+12²=13²,7²+24²=25²,9²+40²=41²，分析其中的规律，写出第五组勾股数.

29. 难度：简单

细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA₂²＝，；

OA₃²＝1²+，；

OA₄²＝1²+，…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA_n²等于多少；S_n等于多少．

（2）求出OA₁₀的长．

（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？

（4）求出S₁²+S₂²+S₃²+…+S₁₀²的值．