人教新版九年级下学期《第28章锐角三角函数》单元综合练习题

一、解答题

1. 难度：困难

一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=35cm，（点A、B、C在同一条直线上），在箱体的底端装有一圆形滚轮⊙A，⊙A与水平地面切于点D，AE∥DN，某一时刻，点B距离水平面38cm，点C距离水平面59cm．

（1）求圆形滚轮的半径AD的长；

（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，已知某人的手自然下垂在点C处且拉杆达到最大延伸距离时，点C距离水平地面73.5cm，求此时拉杆箱与水平面AE所成角∠CAE的大小（精确到1°，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．

2. 难度：中等

如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°．

（1）求坡高CD；

（2）求斜坡新起点A到原起点B的距离（精确到0.1米）．

参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09．

3. 难度：中等

如图，某同学在大楼AD的观光电梯中的E点测得大楼BC楼底C点的俯角为45°，此时该同学距地面高度AE为20米，电梯再上升5米到达D点，此时测得大楼BC楼顶B点的仰角为37°，求大楼的高度BC．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

4. 难度：中等

如图，某船于上午11时30分在A处观察海岛B在北偏东60°，该船以10海里/小时的速度向东航行至C处，再观察海岛在北偏东30°，且船距离海岛20海里.

（1）求该船到达C处的时刻．

（2）若该船从C处继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？

5. 难度：中等

某地发生8.1级地震，震源深度20千米．救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）

6. 难度：简单

某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．

7. 难度：中等

（6分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

二、填空题

8. 难度：中等

若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（　　）

A. 0＜a＜1    B. 1＜a＜2    C. 2＜a＜3    D. 3＜a＜4

三、单选题

9. 难度：中等

三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（    ）

A. cos43°＞cos16°＞sin30°    B. cos16°＞sin30°＞cos43°

C. cos16°＞cos43°＞sin30°    D. cos43°＞sin30°＞cos16°

10. 难度：简单

当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（　　）

A. 0°＜∠A＜30°    B. 30°＜∠A＜60°    C. 60°＜∠A＜90°    D. 30°＜∠A＜45°

11. 难度：困难

在△ABC中，∠C=90°，tanA=, 那么sinA的值是（  ）

A.     B.     C.      D.

12. 难度：简单

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）

A.     B.     C.     D.

13. 难度：简单

如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC=a，∠ACB=50°，那么AB等于（　　）

A. asin50°    B. atan50°    C. acos50°    D.

14. 难度：中等

如图，已知直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα＝（　　）

A.     B.     C.     D.

15. 难度：困难

如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（　　）

A. 6+2    B. 6+    C. 10﹣    D. 8+

16. 难度：困难

如图，在斜坡EF上有一信号发射塔CD，某兴趣小组想要测量发射塔CD的高度，于是在水平地面用仪器测得塔顶D的仰角为31°，已知仪器AB高为2m，斜坡EF的坡度为i＝3：4，塔底距离坡底的距离CE＝10m，最后测得塔高为12m，A、B、C、D、E在同一平面内，则仪器到坡底距离AE约为（　　）米（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）

A. 18.6    B. 18.7    C. 22.0    D. 24.0

17. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE：EC＝3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（　　）

A.     B.     C.     D.

18. 难度：简单

△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan²B﹣3|+（2sinA﹣）²=0，则△ABC是（　　）

A. 直角（不等腰）三角形    B. 等边三角形

C. 等腰（不等边）三角形    D. 等腰直角三角形

19. 难度：困难

如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若 tan∠DBA＝，则 AD 的长为(  )

A. 2    B.     C.     D. 1

四、填空题

20. 难度：中等

如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（     ）

A. 5cos    B.     C. 5sin    D.

五、单选题

21. 难度：中等

如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CE⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．则信号塔CD的高度为(    )

A. 20米    B. (20－8)米    C. (20－28)米    D. (20－20)米

22. 难度：中等

（2016湖南省永州市）下列式子错误的是（　　）

A. cos40°=sin50°    B. tan15°•tan75°=1

C. sin²25°+cos²25°=1    D. sin60°=2sin30°

23. 难度：简单

点M(－sin60°，cos60°)关于x轴对称的点的坐标是(   )

A. (， )    B. (－，－ )

C. (－， )    D. (－，－ )

24. 难度：简单

将，，这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（　　）

A. （﹣sin30°）^﹣2＜（﹣）⁰＜（﹣）³

B. （﹣sin30°）^﹣2＜（﹣）³＜（﹣）⁰

C. （﹣）³＜（﹣）⁰＜（﹣sin30°）^﹣2

D. （﹣）⁰＜（﹣）³＜（﹣sin30°）^﹣2

25. 难度：中等

中，，则是（         ）

A. 等腰三角形    B. 等边三角形    C. 直角三角形    D. 等腰直角三角形

六、填空题

26. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3，则AC的长为_____．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）

27. 难度：中等

如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为，看这栋大楼底部C的俯角为，热气球A的高度为270米，则这栋大楼的高度为______米

28. 难度：中等

计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．

29. 难度：简单

如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则sin ∠ABC＝________.

30. 难度：中等

已知：tanx=2，则＝____.

31. 难度：中等

计算：cot44°•cot45°•cot46°=________

32. 难度：中等

在△ABC中，已知∠C=90°，，则=　 　．

33. 难度：中等

如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα= ，则t的值是________．

34. 难度：中等

（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，BC＝6，那么AB＝_____．（用计算器计算，结果精确到0.1）

（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝，则﹣4cosα﹣（﹣1）⁰+tanα＝_____．

35. 难度：中等

 一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°==1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．

36. 难度：中等

如图是一款可折叠的木制宝宝画板．已知AB＝AC＝67cm，BC＝30cm，则∠ABC的大小约为_____°（结果保留到1°）．

37. 难度：中等

如图，要在宽AB为20米的瓯海大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD与灯柱BC成120°角，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线（即O为AB的中点）时照明效果最佳，若CD=米，则路灯的灯柱BC高度应该设计为____米（计算结果保留根号）．

七、解答题

38. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，∠ADC＝45°，BD＝2，tanB＝.

(1)求AC和AB的长；

(2)求sin∠BAD的值．

39. 难度：中等

计算：

（1）cos30°+sin45°；

（2）6tan²30°﹣sin 60°﹣2sin 45°．

40. 难度：中等

在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：．