吉林省长春市宽城区2019届九年级上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

若一元二次方程x²+k-3=0有一个根为1，则的值为（  ）

A. -2    B. 2    C. -4    D. 4

2. 难度：简单

抛物线的顶点坐标是（  ）

A. （1，2）     B. （-1，2）     C. （1，-2）    D. （-1，-2）

3. 难度：中等

如图，在中，，并分别交、于点、.若，，则的值为（  ）

A.     B.     C.     D.

4. 难度：中等

如图，点、、均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（  ）

A.     B.     C. 1    D.

5. 难度：中等

如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余一块面积为的矩形空地.设原正方形空地的边长为，则下面所列方程正确的是（  ）

A.     B.

C.     D.

6. 难度：简单

如图，要测量小河两岸相对的两点、之间的距离，可以在小河边的垂线上取一点，测得米，，则的长为（  ）

A. 100sin35°米    B. 米    C. 100tan35°米    D. 米

7. 难度：中等

如图，为圆心，是直径，是半圆上的点，是上的点.若，则的大小为（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点.若在抛物线上有且只有三个不同的点、、，使得、、的面积都等于，则的值是（  ）

A. 6    B. 8    C. 12    D. 16

二、填空题

9. 难度：中等

计算：__________．

10. 难度：中等

一元二次方程2x²﹣4x+1＝0有_____个实数根．

11. 难度：中等

将抛物线先向右平移4个单位，然后再向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为__________．

12. 难度：中等

《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．

13. 难度：中等

如图，与相切于点，弦.若的半径为3，，则的长为_______．

14. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方的对称轴上一点，轴交对称轴右侧的抛物线于点.若四边形是平行四边形，则点的坐为__________．

三、解答题

15. 难度：中等

解方程：.

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线经过点，.

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式.

（2）求随的增大而减小时的取值范围.

17. 难度：简单

某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元，预计2019年“竹文化”旅游收入达到2.88亿元.求该市2018年、2019年这两年“竹文化”旅游收入的平均年增长率.

18. 难度：中等

如图，是的角平分线，延长到，使.

（1）求证：.

（2）若，，，求的长.

19. 难度：中等

如图，两幢建筑物和，，，，.和之间有一景观池，小双在点测得池中喷泉处点的俯角为，在点测得点的俯角为，点B、E、D同一直线上，求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1m）.（参考数据：，，）

20. 难度：中等

如图，AB是的直径，为弧AB的中点，延长到点，使，连结.

（1）求的度数.

（2）求证：与相切.

21. 难度：中等

如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．

（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（2，3）、（6，2），并写出点B的坐标；

（2）以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC放大，相似比为2，画出放大后的△A'B'C'；

（3）直接写出B′C′与AC的交点坐标．

22. 难度：中等

某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．

23. 难度：困难

如图，在四边形中，，，，.点在的边上或内部运动，过点分别向边、所在直线作垂线，交射线于点，交边于点.

（1）求边的长.

（2）求线段的取值范围.

（3）当点在的边上运动时，若，直接写出线段的长.

24. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax²﹣5ax+c 交 x 轴于点 A，点 A 的坐标为（4，0）．

(1)用含 a 的代数式表示 c．

(2)当 a＝时，求 x 为何值时 y 取得最小值，并求出 y 的最小值．

(3)当 a＝时，求 0≤x≤6 时 y 的取值范围．

(4)已知点 B 的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB 外接圆内部时，直接写出 a的取值范围．