辽宁省大连市西岗区2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下面数学符号，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

（5分）抛物线的顶点坐标是（ ）

A. （﹣1，2）    B. （﹣1，﹣2）    C. （1，﹣2）    D. （1，2）

3. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则sinA的值为（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：中等

如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，则∠AOC的度数是

A．35°      B．140°          C．70°           D．70°或140°

5. 难度：中等

如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（　　）

A. 4.5 B. 8 C. 10.5 D. 14

6. 难度：中等

已知扇形的弧长为3πcm，半径为6cm，则此扇形的圆心角为（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

7. 难度：中等

已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间t（单位：小时）关于行驶速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（　　）

A. t=20v    B. t=    C. t=    D. t=

8. 难度：中等

（11·漳州）如图，P(x，y)是反比例函数y＝的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积

A. 不变    B. 增大    C. 减小    D. 无法确定

9. 难度：中等

中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入300美元，预计2018年年收入将达到1500美元，设2016年到2018年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（　　）

A. 300（1+x）²＝1500 B. 300（1+2x）＝1500

C. 300（1+x²）＝1500 D. 300+2x＝1500

10. 难度：简单

已知：二次函数y＝ax²+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示：

x	…	﹣1	0	1	2	…
y	…	0	3	4	3	…

那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（　　）

A. （1，4） B. （2，0） C. （3，0） D. （4，0）

二、填空题

11. 难度：中等

函数y＝-的自变量的取值范围是_____．

12. 难度：中等

如图，⊙O的半径OA等于5，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若OD＝3，则弦AB的长为_____．

13. 难度：中等

点A（1，6）、B（2，n）都在反比例函数y=的图象上，则n的值为_____．

14. 难度：简单

如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点（DE不平行BC），若使△ADE与△ABC相似，则需要添加_____即可（只需添加一个条件）．

15. 难度：中等

如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于D，已知∠A＝51°，则∠B′CB的度数是_____．

16. 难度：困难

如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝_____．

三、解答题

17. 难度：中等

（1）解方程：x²+4x﹣5＝0

（2）+（）^﹣1﹣2cos30°+（2﹣π）⁰

18. 难度：中等

如图，已知等腰三角形ADC，AD＝AC，B是线段DC上的一点，连结AB，且有AB＝DB．

（1）求证：△ADB∽△CDA；

（2）若DB＝2，BC＝3，求AD的值．

19. 难度：中等

如图，建筑物的高CD为17.32米，在其楼顶C，测得旗杆底部B的俯角α为60°，旗杆顶部A的仰角β为30°，请你计算旗杆的高度．（≈1.732，结果精确到0.1米）

20. 难度：中等

某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米．请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y₁＝ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y₂＝（k≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出y₁＞y₂时x的取值范围．

22. 难度：中等

(发现)x⁴﹣5x²+4＝0是一个一元四次方程．

(探索)根据该方程的特点，通常用“换元法”解方程：

设x²＝y，那么x⁴＝y²，于是原方程可变为　   　．

解得：y₁＝1，y₂＝　   　．

当y＝1时，x²＝1，∴x＝±1；

当y＝　   　时，x²＝　   　，∴x＝　   　；

原方程有4个根，分别是　   　．

(应用)仿照上面的解题过程，求解方程：．

23. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BE上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交AC于点D．BD平分∠ABC．

（1）求证：AC为⊙O切线；

（2）点F为的中点，连接BF，若BC＝，BD＝8，求⊙O半径及DF的长．

24. 难度：中等

如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，过点C作CE⊥AD于点E，CE＝4，△CDE沿射线DA平移，当CE经过点B时，运动停止．设点D的平移距离为x，平移后的三角形与四边形ABCD的重合部分面积为y，y与x的函数图象如图2所示：

（1）图中DE＝　   　；

（2）求BC的长；

（3）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．

25. 难度：中等

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形内取一点D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．

小明通过探究发现，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，这样就具备了一边一角的图形特征，他果断延长CD至点E，使CE＝AB，连接EB，造出全等三角形，使问题得到解决．

（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

如图2，△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别为BC、AC、AB上一点，连接DE，延长FE、DF分别交BC、CA延长线于点G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．

①在图中找出与∠DEC相等的角，并加以证明；

②若BG＝kCD，猜想DE与DG的数量关系并证明．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且过点（2，﹣3a）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点P，过点P作PM⊥BD，垂足为点M，PM＝2DM？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）在（2）的条件下，求△PMD的面积．