北京市第一分校2018-2019学年八年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

下列运算正确的是（    ）

A. x²•x³=x⁶    B. x²+x²=2x⁴

C. （-3a³）•（-5a⁵）=15a⁸    D. （-2x）²=﹣4x²

3. 难度：简单

如图，已知△ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是(    )

A. AD＝AE    B. DB＝AE    C. DF＝EF    D. DB＝EC

4. 难度：简单

下列各式中计算结果等于2x⁶的是（　　）

A. 2x⁷÷x B. （2x³）² C. x³+x³ D. 2x³•x²

5. 难度：中等

已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）

A. 40° B. 100° C. 40°或70° D. 40°或100°

6. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知点A（2，m）和点B（n，﹣3）关于x轴对称，则m+n的值是（  ）

A. ﹣1    B. 1    C. 5    D. ﹣5

7. 难度：中等

如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（  ）

A.12    B.24    C.36    D.不确定

8. 难度：简单

已知a＝81³¹，b＝27⁴¹，c＝9⁶¹，则a，b，c的大小关系是(   )

A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. a＜b＜c D. b＞c＞a

9. 难度：简单

如图，△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝5，分别以A，B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　　）

A. 10 B. 12 C. 14 D. 19

10. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（0，2），若点C在x轴上方，CO＝CB，且△AOC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题

11. 难度：简单

已知10^x＝7，10^y＝21，则10^x﹣y＝_____．

12. 难度：中等

如果 ，则x=______________．

13. 难度：简单

如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是____________．

14. 难度：中等

如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8cm，BD＝_____，BE＝_____．

15. 难度：中等

如图，在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分∠ABC, 则∠A＝________________  °．

16. 难度：简单

阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

尺规作图：

已知：线段a，b．

求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b．

小涛的作图步骤如下：

如图

（1）作线段BC＝a；

（2）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC

于点D；

（3）在MN上截取线段DA＝b，连接AB，AC．

所以△ABC即为所求作的等腰三角形．

老师说：“小涛的作图步骤正确”．

请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：

①_____；

②_____．

三、解答题

17. 难度：简单

计算

（1）x•x³+x²•x²

（2）（﹣a³）²•（﹣a²）³

（3）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x

18. 难度：简单

已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD，AC＝BE，BC＝BD．

求证：AB＝DE．

19. 难度：简单

作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．

（1）作△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，其中，点A、B、C的对应点分别为A₁、B₁、C₁；

（2）写出点A₁、B₁、C₁的坐标．

20. 难度：中等

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在CB边上，∠DAB=∠B，点E在AB边上且满足∠CAB=∠BDE.

求证： AE=BE.

21. 难度：简单

作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）

如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．

22. 难度：简单

已知n²+n＝1，求（n+2）（n﹣2）+（n+3）（2n﹣3）的值．

23. 难度：中等

如图，∠AOB＝150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD＝3，求OC的长．

24. 难度：中等

观察下列各式

（x﹣1）（x+1）＝x²﹣1

（x﹣1）（x²+x+1）＝x³﹣1

（x﹣1）（x³+x²+x+1）＝x⁴﹣1

…

①根据以上规律，则（x﹣1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）＝　   　．

②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x+1）＝　   　．

③根据②求出：1+2+2²+…+2³⁴+2³⁵的结果．

25. 难度：困难

在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：

（1）非等边的等腰三角形有________条对称轴，非正方形的长方形有________条对称轴，等边三角形有___________条对称轴；

（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1-3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

26. 难度：困难

在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点(不与点B重合，且BC≠BE)，在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．

（1）当点C在线段BD上时，

①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为________；

②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF＋CD；

（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系，不用证明．

27. 难度：中等

已知：△ABC是等边三角形．

（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F． 试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；

（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．