湖北省十堰市丹江口市2019届九年级（上）期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

二次函数y＝x²﹣2x+2的顶点坐标是（　　）

A. （1，1） B. （2，2） C. （1，2） D. （1，3）

2. 难度：中等

平面直角坐标系内与点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A. （3，﹣2） B. （2，3） C. （2，﹣3） D. （﹣3，﹣3）

3. 难度：简单

已知抛物线C的解析式为y＝ax²+bx+c，则下列说法中错误的是（　　）

A. a确定抛物线的开口方向与大小

B. 若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变

C. 若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变

D. 若将抛物线C沿直线l：y＝x+2平移，则a、b、c的值全变

4. 难度：简单

如图，B，C是⊙O上两点，且∠α＝96°，A是⊙O上一个动点（不与B，C重合），则∠A为（　　）

A. 48° B. 132° C. 48°或132° D. 96°

5. 难度：中等

如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）

A. 2.3 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6

6. 难度：简单

如图．将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O．则折痕AB的长为（　　）

A. 6cm B. 3cm C. 6cm D. 6cm

7. 难度：简单

若二次函数y＝mx²﹣4x+m有最大值﹣3，则m等于（　　）

A. m＝4 B. m＝﹣1 C. m＝1 D. m＝﹣4

8. 难度：简单

在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）绕点A（0，1）顺时针旋转90°，所得到的对应点P′的坐标为（　　）

A. （﹣1，﹣2） B. （3，﹣2） C. （1，3） D. （1，4）

9. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将△ACB绕点A逆时针旋转60°得到△AC′B′，则CB′的长为（　　）

A. + B. 1+ C. 3 D. +

10. 难度：中等

如图，已知二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点（0，3），（x₁，0），其中，2＜x₁＜3，对称轴为x＝1，则下列结论：①2a﹣b＝0； ②x（ax+b）≤a+b；③方程ax²+bx+c﹣3＝0的两根为x₁'＝0，x₂'＝2；④﹣3＜a＜﹣1．其中正确的是（　　）

A. ②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ②③

二、填空题

11. 难度：中等

已知二次函数y＝ax²+4ax+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是_____．

12. 难度：简单

抛物线的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．

13. 难度：中等

如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B＝_____度．

14. 难度：简单

如图，C是⊙O的弦BA延长线上一点，已知∠COB＝130°，∠C＝20°，OB＝2，则AB的长为_____．

15. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过点A作半圆的切线，与半圆切于点F，与CD交于点E，则S_梯形ABCE＝_____cm²．

16. 难度：中等

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，E，F分别在边AC，BC，若以EF为直径作圆经过AB上某点D，则EF长的取值范围为_____．

三、解答题

17. 难度：简单

已知抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），与y轴的交点是（0，﹣3），求这个二次函数的解析式．

18. 难度：困难

△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示

（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形；

（2）若⊙M能盖住△ABC，则⊙M的半径最小值为　   　．

19. 难度：中等

河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥（如图1），水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m，因降暴雨水面上升1m．

（1）建立适当的坐标系，并求暴雨后水面的宽；

（2）一艘装满物资的小船，露出水面部分高为0.5m、宽4m（横断面如图2所示），暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？

（注：结果保留根号．）

20. 难度：中等

已知y关于x二次函数y＝x²﹣（2k+1）x+（k²+5k+9）与x轴有交点．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂是关于x的方程x²﹣（2k+1）x+（k²+5k+9）＝0的两个实数根，且x₁²+x₂²＝39，求k的值．

21. 难度：中等

如图，台风中心位于点A，并沿东北方向AC移动，已知台风移动的速度为50千米/时，受影响区域的半径为130千米，B市位于点A的北偏东75°方向上，距离A点240千米处．

（1）说明本次台风会影响B市；

（2）求这次台风影响B市的时间．

22. 难度：中等

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价为x元（x为整数）．

（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数解析式．

（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

23. 难度：困难

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，D是⊙O上一点，且弧CB=弧CD，CE⊥DA交DA的延长线于点E．

（1）求证：∠CAB＝∠CAE；

（2）求证：CE是⊙O的切线；

（3）若AE＝1，BD＝4，求⊙O的半径长．

24. 难度：困难

如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在CB，CA上，且CD＝CE，连AD，BE，F为AD的中点，连CF．

（1）求证：CF＝BE，且CF⊥BE；

（2）将△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角（如图2），其它条件不变，此时（1）中的结论是否仍成立？并证明你的结论．

25. 难度：困难

如图1，抛物线y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝OA．

（1）求抛物线解析式；

（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值；

（3）如图2，D（0，﹣2），连接BD，将△OBD绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转180°得到△O′B′D′，O、B、D的对应点分别为O′、B′、D′．若点B′、D′两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．