江西省抚州市自强班、黎川县第二中学宏志班2019届九年级（上）期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列三个定理中，①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行；存在逆定理的有(   )个．

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

2. 难度：简单

下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(   )

A. (a+5)(a﹣5)＝a²﹣25 B. mx+my+2＝m(x+y)+2

C. x²﹣9＝(x+3)(x﹣3) D.

3. 难度：简单

已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是(   )

A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形

4. 难度：简单

将点A（﹣2，﹣3）向右平移3个单位长度得到点B，则点B所处的象限是

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

5. 难度：简单

下列运算正确的是（ ）

A.

B.

C.

D.

6. 难度：中等

如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（  ）

A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

二、填空题

7. 难度：简单

有下列图形：①线段，②三角形，③平行四边形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥菱形，其中不是中心对称图形的是_____．(填序号)

8. 难度：中等

已知不等式组的解集中共有5个整数，则a的取值范围为______．

9. 难度：困难

若关于x的分式方程＝a无解，则a的值为____．

10. 难度：中等

如图，△ABC绕点A顺时针旋转45°得到△AB′C′，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝，则图中阴影部分的面积等于_____．

11. 难度：中等

一个三角形的两边长分别是4cm和7cm，第三边长为整数acm，且满足a²﹣10a+21＝0，则此三角形的面积为_____cm²．

12. 难度：中等

如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是             ．

三、解答题

13. 难度：中等

(1)因式分【解析】
﹣a+2a²﹣a³

(2)解方程：4x(2x+1)＝3(2x+1)

14. 难度：中等

如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．

求证：△BDE是等腰三角形．

15. 难度：中等

如图，AC是菱形ABCD的一条对角线，过点B作BE∥AC，过点C作CE⊥BE，垂足为E，请你用两种不同的方法，只用无刻度的直尺在图中作出一条与CD相等的线段．

16. 难度：中等

901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加“读书社”的学生有15人，请解答下列问题：

（1）该班的学生共有       名；

（2）若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算，“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；

（3）901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．

17. 难度：困难

若方程组的解满足﹣1＜x+y＜1，求k的取值范围．

18. 难度：中等

近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．

(1)求A种、B种设备每台各多少万元？

(2)根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？

19. 难度：中等

如图，将▱ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连接CE，F是BC边的中点，连接FD．

(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．

20. 难度：中等

已知 x₁、x₂是一元二次方程4kx²﹣4kx+k+1＝0的两个实数根．

(1)求k的取值范围．

(2)是否存在实数k，使(2x₁﹣x₂)(x₁﹣2x₂)＝﹣成立？若存在求出k的值；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，▱ABCD中，若AB＝1，BC＝2，则▱ABCD为1阶准菱形．

(1)猜想与计算：

邻边长分别为3和5的平行四边形是______阶准菱形；已知▱ABCD的邻边长分别为a，b(a＞b)，满足a＝8b+r，b＝5r，请写出，▱ABCD是_____阶准菱形．

(2)操作与推理：

小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC边上的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．

22. 难度：中等

如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题：

(1)问：依据规律在第n个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；

(2)问：依据规律在第8个图中，黑色瓷砖多少块，白色瓷砖有多少块；

(3)某新学校教室要装修，每间教室面积为68m²，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设．已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？

23. 难度：困难

数学活动：探究与发现

定义：如图(1)，四边形ABCD为矩形，△ADE和△BCF均为等腰直角三角形，∠AED＝∠BFC＝90°，点G、H分别为AB、CD的中点，连接EG、EH、FG、FH，分别与AD、BC交于点M、P、N、Q，我们把四边形PQNM叫做矩形ABCD的递推四边形．

独立思考：

(1)求证：四边形PQNM矩形．

合作交流：

(2)解决完上述问题后，“兴趣”小组的同学们对正方形ABCD的递推四边形进行了探究，如图(2)，他们猜想矩形PQNM的宽与长的比．他们猜想的结论是否正确？请说明理由．

发现问题：(3)在“兴趣”小组同学们的启发下，“实践”小组的同学们对宽与长的比为的矩形的递推四边形进行了探究，如图(3)．他们提出如下问题：

①在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为_____；

②在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为______；

③在矩形ABCD中，若，则矩形PQNM的宽与长的比为______．

任务：请你完成“实践”小组提出的数学问题．(注：直接写出结果，不要求说理或证明)