山东省青岛市局属四校2019届九年级上学期期末考试数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

如图所示的几何体，它的左视图是（　　）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（　　）

A. 小明的影子比小强的影子长 B. 小明的影子比小强的影子短

C. 小明的影子和小强的影子一样长 D. 无法判断谁的影子长

3. 难度：简单

如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（　　）

A. 2：1 B. 1：4 C. 1： D. 1：2

4. 难度：中等

如图，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于A（﹣2，y₁）、B（1，y₂）两点，则不等式ax+b＜的解集为（　　）

A. x＜﹣2或0＜x＜1    B. x＜﹣2    C. 0＜x＜1    D. ﹣2＜x＜0或x＞1

5. 难度：中等

某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）

A. x（x+1）=1035    B. x（x﹣1）=1035×2    C. x（x﹣1）=1035    D. 2x（x+1）=1035

6. 难度：简单

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，设∠ACD＝α，则cosα的值为（　　）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

如图是二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①abc＜0；②2a+b=0；③a-b+c=0；④点（3，y₁），（-2，y₂）都在抛物线上，则有y₁＞y₂，⑤当-1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

如图，将△ABC沿着过AP中点D的直线折叠，使点A落在B C边上的A₁处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h₁，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D₁的直线折叠，使点A落在DE边上的A₂处，称为第2次操作，折痕D₁E₁到BC的距离记为h₂，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D₂₀₁₇E₂₀₁₇到BC的距离记为h₂₀₁₈，若h₁=1，则h₂₀₁₈的值为（　　）

A. 2﹣    B.     C. 1﹣    D. 2﹣

二、填空题

9. 难度：中等

在一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的n个小球，其中有5个黑球，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，之后把它放回袋中，搅匀后，再继续摸出一球，以下是利用计算机模拟的摸球试验次数与摸出黑球次数的列表：

摸球试验次数	100	1000	5000	10000	50000	100000
摸出黑球次数	46	487	2506	5008	24996	50007

根据列表，可以估计出n的值是　　　　　　．

10. 难度：中等

现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件数的平均增长率为______．

11. 难度：简单

将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，BE、CF为折痕，折叠后点A和点D都落在点O处，若△EOF是等边三角形，则的值为_____．

三、解答题

12. 难度：中等

要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？

四、填空题

13. 难度：中等

给定一个边长为3的正方形，存在一个矩形，使它的周长和面积分别是这个正方形周长和面积的2倍，则这个矩形较长边的边长为______．

14. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC边于G，AG的中垂线与CB的延长线交于E，与AB、AC、DC分别交于点M，N，F，下列结论：①tan∠E=，②△AGC≌△EMG，③四边形AMGN是菱形，④S_△CFN=S_{四边形AMGN}，其中正确的是______（填序号）．

五、解答题

15. 难度：中等

（1）解下列方程：（x+1）（x+2）=2x+4

（2）若抛物线y=x²+3x+a与x轴有交点，求实数a的取值范围．

16. 难度：中等

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．

①求出商场每天销售这种文具的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

②求每天的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

③商场制定了销售计划，规定每天销售量至少是200件，为了保证销售量，销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大，最大利润是多少？

17. 难度：中等

已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，-2），B（-5，-4），C（-1，-5）．以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A₁B₁C₁，请在第一象限画出△A₁B₁C₁，并写出点B₁的坐标．

18. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=7，c=7，求出直角三角形的其他元素．

19. 难度：中等

为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》（依次用字母A，B，C表示这三个材料），将A，B，C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上，比赛时甲同学先从中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由乙同学从中随机抽取一张卡片，甲、乙两同学按各自抽取的内容进行诵读比赛．

请用列表或画树状图的方法求甲、乙两同学诵读两个不同材料的概率．

20. 难度：中等

如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）

（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=在第一象限内的图象与直线y=x交于点D，且反比例函数y=交BC于点E，AD=3．

（1）求D点的坐标及反比例函数的关系式；

（2）若矩形的面积是24，请写出△CDE的面积（不需要写解答过程）．

22. 难度：中等

已知：如图，在平行四边形ABCD中，BC=AC，E，F分别是AB，CD的中点，连接CE并延长交DA的延长线于M，连接AF并延长交BC的延长线于N．

（1）求证：△ABN≌△CDM；

（2）当平行四边形ABCD的边或角满足什么关系时，四边形AECF是正方形？请说明理由．

23. 难度：中等

为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．

求每套队服和每个足球的价格是多少？

若城区四校联合购买100套队服和个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；

在的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？

24. 难度：中等

问题提出：求n个相同的长方体（相邻面的面积不相同）摆放成一个大长方体的表面积．

问题探究：探究一：

为了研究这个问题，同学们建立了如下的空间直角坐标系：空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向．

将相邻三个面的面积记为S₁、S₂、S₃，且S₁＜S₂＜S₃的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S₁所在的面与x轴垂直，S₂所在的面与y轴垂直，S₃所在的面与z轴垂直，如图1所示．

若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标系内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．

问题一：如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为______．

组成这个几何体的单位长方体的个数为______个．

探究二：

为了探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S_{（x，y，z）}，同学们针对若干个单位长方体进行码

放，制作了下列表格

几何体 有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为S1的个数	表面上面积为S2的个数	表面上面积为S3的个数	表面积
（1，1，1）	1	2	2	2	2S1+2S2+2S3
（1，2，1）	2	4	2	4	4S1+2S2+4S3
（3，1，1）	3	2	6	6	2S1+6S2+6S3
（2，1，2）	4	4	8	4	4S1+8S2+4S3
（1，5，1）	5	10	2	10	10S1+2S2+10S3
（1，2，3）	6
……	……	……	……	……	……

问题二：请将上面表格补充完整：当单位长方体的个数是6时，表面上面积为S₁的个数是______．

表面上面积为S₂的个数是______；表面上面积为S₃的个数是______；表面积为______．

问题三：根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S_{（x，y，z）}=______（用x、y、z、S₁、S₂、S₃表示）

探究三：

同学们研究了当S₁=2，S₂=3，S₃=4时，用3个单位长方体码放的几何体中，有三种码放的方法，有序数组分别为（1，1，3），（1，3，1），（3，1，1）．而S_{（1，1，3）}=38，S_{（1，3，1）}=42，S_{（3，1，1）}=46．容易发现个数相同的长方体，由于码放的方法不同，组成的几何体的表面积就不同．

拓展应用：

要将由20个相同的长方体码放的几何体进行打包，其中每个长方体的长是8，宽是5，高是6．为了节约外包装材料，请直接写出使几何体表面积最小的有序数组，并写出这个最小面积（不需要写解答过程）．（缝隙不计）

25. 难度：困难

已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点C与点E重合），点B，C（E），F在同一直线上，AB=3cm，BC=9cm，EF=8cm，PE=PF=5cm，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点F与点C重合时△EFP停止运动停止．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）当0＜t＜2时，EP与CD交于点M，请用含t的代数式表示CE=______，CM=______；

（2）当2＜t＜4时，如图③，PF与CD交于点N，设四边形EPNC的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；

（3）当2＜t＜4时，且S_{四边形EPNC}：S_矩形ABCD=1：4时，请求出t的值；

（4）连接BD，在运动过程中，当BD与EP相交时，设交点为O，当t=______时；O在∠BAD的平分线上．（不需要写解答过程）