北京市2019届九年级第二学期4月月考测试数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

在下面四个几何体中，俯视图是矩形的是 （     ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

黄河是中华民族的象征，被誉为母亲河，黄河壶口瀑布位于我省吉县城西45千米处，是黄河上最具气势的自然景观．其落差约30米，年平均流量1010立方米/秒．若以小时作时间单位，则其年平均流量可用科学记数法表示为（　　）

A. 6.06×10⁴立方米/时    B. 3.136×10⁶立方米/时

C. 3.636×10⁶立方米/时    D. 36.36×10⁵立方米/时

3. 难度：简单

实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）

A. a+b＜0 B. a＞|﹣2| C. b＞π D.

4. 难度：中等

如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2的度数为（　　）

A. 140°    B. 130°    C. 120°    D. 110°

5. 难度：中等

下列计算正确的是（　　）

A. a³•a³=2a³    B. a²+a²=a⁴    C. a⁶÷a²=a³    D. （﹣2a²）³=﹣8a⁶

6. 难度：简单

在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同， 其中有 5 个白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.下表是摸球试验的一组统计数据:

摸球次数（ n ）	50	100	150	200	250	300	500
摸到白球次（ m ）	28	60	78	104	123	152	251
白球频率（ ）	0.56	0.60	0.52	0.52	0.49	0.51	0.50

由上表可以推算出a大约是（     ）

A. 10 B. 14 C. 16 D. 40

7. 难度：中等

如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是　　

A. 55°    B. 60°    C. 65°    D. 70°

8. 难度：中等

一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（　　）

A. 原数与对应新数的差不可能等于零

B. 原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C. 当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D. 当原数取50时，原数与对应新数的差最大

二、填空题

9. 难度：中等

函数的自变量x的取值范围是 ______．

10. 难度：简单

分解因式:4a²－16＝___________．

11. 难度：中等

已知 x²  2x  8  0 ，则代数式的值 为_____________.

12. 难度：简单

用一组a ,b 的值说明命题：“若a²=b²，则a=b”是错误的，这组值可以是a= _________.，b=______.

13. 难度：中等

一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与⊙O 等高， 如图放置，⊙O 与 BC 相切于点 C，⊙O 与 AC 相交于点E，则 CE 的长为  _____cm．

 

14. 难度：简单

程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：

       

意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人 分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完．设大和尚有 x 人， 则 可 列 方 程 为 ______．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y  x² 的图象经过点M (x₁ , y₁ ) ，N (x₂ , y₂ ) 两点，若 4 x₁ 2， 0 x₂ 2 ，则 y₁ ____ y₂ . （用“  ”，“=”或“>”号连接）

16. 难度：中等

如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，P 是边 AB 上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B＇CP，连接 B＇A，B＇A 长度的最小值是 m，B＇A 长度的最大值是 n，则 m+n 的值等于 ______．

 

三、解答题

17. 难度：简单

计算：.

18. 难度：简单

下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程:

已知:如图,直线 l 和直线 l 外一点 A

求作:直线 AP,使得 AP∥l

作法:如图

① 在直线 l 上任取一点 B，以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，与直线 l 交于 B，C 两点.

② 连接 AC,AB,延长 BA 交⊙A 于点 D;

③ 作∠DAC 的平分线 AP，并反向延长.

所以直线 AP 就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形(保留作图痕迹)

（2）完成下面的证明

证明:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB(             ①      )(填推理的依据)

∵∠DAC 是△ABC 的外角,

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB

∴∠DAC=2∠ABC

∵AP 平分∠DAC,

∴∠DAC=2∠DAP

∴ ②      

∴AP∥l(              ③    )(填推理的依据)

19. 难度：简单

解不等式组: .

20. 难度：中等

已知关于 x 的一元二次方程x²+2kx+k-2=0.

（1）利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）当 k 为最大的负整数时，求方程的根.

21. 难度：中等

在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在 CD 上，CF =AE，连接 BF，AF．

（1）求证：四边形 BFDE 是矩形；

（2）若 AF 平分∠BAD，交DE与H点，且 AB=3AE，BF=6，求AH的长．

22. 难度：困难

一次函数 y  kx  b k  0的图象与反比例函数 y   m  0的图象交于 A (-1，-1)，B (n，2)两点.

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）点 P 在 x 轴上，过点 P 做垂直于 x 轴的直线 l，交直线 AB 于点 C，若AB=2AC，请直接写出点 C 的坐标．

23. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2经过点A（m,-2），将点A向右平移7个单位长度，得到点B，抛物线的顶点为C.

（1）求m的值和点B的坐标；

（2）求点C的坐标（用含n的代数式表示）；

（3）若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求n的取值范围.

24. 难度：困难

如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，过点C作⊙O 的切线，交AB的延长线于点P，联结PD．

（1）判断直线PD与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）联结CO并延长交⊙O于点F，联结FP交CD于点G，如果CF=10，cos∠APC=，求EG的长．

25. 难度：困难

如图，矩形ABCD的对角线上有动点E，连结DE，边BC上有一定点F，连接EF，已知AB=3cm，AD=4cm，设A，E两点间的距离为xcm，D，E两点间的距离为y₁cm，E，F两点间的距离为y₂cm.小胜根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小胜的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，得到x与y的几组对应值；

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁，y₂的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当DE＞EF时，AE的长度范围约为多少cm．

26. 难度：简单

水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各 300 株分别种植在甲、乙两个大棚. 对于市场最为关注的产量和产量的稳定性，进行了抽样调查，从甲、乙两个大棚各收集了 24 株秧苗上的小西红柿的个数，并对数据进行整理、描述和分析。

下面给出了部分信息：（说明：45 个以下为产量不合格，45 个及以上为产量合格，其中 45～65 个为产量良好，65～85 个为产量优秀）

a.补全下面乙组数据的频数分布直方图(数据分成 6 组: 25≤x＜35，35≤x＜45，45≤x＜55，55≤x＜65，65≤x＜75，75≤x＜85):

 

b.乙组数据在产量良好（45≤x＜65）这两组的具体数据为： 46  46  47  47  48  48   55  57  57  57  58  61

c.数据的平均数、众数和方差如下表所示：

大棚	平均数	中位数	众数	方差
甲	52.25	51	58	238
乙	52.25		57	210

（1）补全乙的频数分布直方图.

（2）写出表中的值．

（3）根据样本情况，估计乙大棚产量良好及以上的秧苗数为   株．

（4）根据抽样调查情况，可以推断出 大棚的小西红柿秧苗品种更适应市场需求，写出理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．

27. 难度：困难

如图，正方形 ABCD 中，P 是 BA 延长线上一点，且PDA  （0    45）.点 A，点 E 关于 DP 对称，连接 ED，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF .

（1）请按照题目要求补全图形.

（2）求证：∠EDF=∠CDF

（3）求∠EDF(含有 的式子表示)；

（4）过 P 做PH⊥DP交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.

 

28. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x₁，y₁)与P₂(x₂，y₂)的“非常距离”，给出如下定义：

若|x₁x₂|≥|y₁y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|x₁x₂|；

若|x₁x₂||y₁y₂|，则点P₁与点P₂的“非常距离”为|y₁y₂|.

例如：点P₁(1，2)，点P₂(3，5)，因为|13||25|，所以点P₁与点P₂的“非常距离”为|25|3，也就是图中线段P₁Q与线段P₂Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P₁Q与垂直于x轴的直线P₂Q的交点）.

（1）已知点A(0,1)，

①在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四个点中，与点A的“非常距离”为的点是；

②点F为x轴上一动点，直接写出点A与点F的“非常距离”的最小值；

（2）已知点M是直线y2x6上的一个动点，

①点G的坐标是（0，2），求点M与点G的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标；

①点N是以点（4，0）为圆心，为半径的圆上的一个动点，直接写出点M与点N的“非常距离”的最小值及相应的点M的坐标.