湖北省2019年自主招生模拟考试四校联考数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

若定义：f（a，b）=（-a，b），g（m，n）=（m，-n），例如f（1，2）=（-1，2），g（-4，-5）=（-4，5），则g（f（2，-3））=（　　）

A. （2，-3）    B. （-2，3）    C. （2，3）    D. （-2，-3）

2. 难度：中等

关于x的不等式组只有5个整数解，则a的取值范围是（        ）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：困难

甲杯中盛有m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时（      ）

A. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少

B. 甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多

C. 甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同

D. 甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定

4. 难度：简单

如果方程（x－1）(x²－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是（　　）

A. 0≤m≤1 B. m≥ C. <m≤1 D. ≤m≤1

5. 难度：中等

如图，点、、在直线上，点、、、在直线上，若，从如图所示的位置出发，沿直线向右匀速运动，直到与重合．运动过程中与矩形重合部分的面积随时间变化的图象大致是（      ）

A.  B.  C.  D.

6. 难度：中等

如图，□DEFG内接于，已知、、的面积为1、3、1，那么□DEFG的面积为（      ）

A. 4 B.  C. 3 D. 2

7. 难度：中等

如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（　　）

A. 等于24 B. 最小为24 C. 等于48 D. 最大为48

8. 难度：困难

如图，点O在△ABC内，点P、Q、R分别在边AB、BC、CA上，且OP∥BC，OQ∥CA，OR∥AB，OP=OQ=OR=x，BC=a，CA=b，AB=c，则x=(   )

A.  B.  C.  D.

二、填空题

9. 难度：中等

如图所示，将长方形ABCD分成15个大小相等的小正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点．若四边形EFGH的面积为3，则长方形ABCD的面积为___.

10. 难度：困难

如图，已知点A在反比例函数 的图象上，作，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若的面积为6，则k=___。

11. 难度：中等

如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是____.

12. 难度：中等

如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y₁和过P、A两点的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=5时，这两个二次函数的最大值之和等于_______

13. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=，则MN的长为______

14. 难度：中等

已知：实常数同时满足下列两个等式：⑴；⑵（其中为任意锐角），则之间的关系式是：___________

15. 难度：困难

当x变化时,分式的最小值是___________.

16. 难度：中等

甲盒子中装有3个编号分别为1，2，3的小球，乙盒子中装有3个编号分别为4，5，6的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出两小球编号之和为奇数的概率是____.

三、解答题

17. 难度：中等

已知与互为相反数，求代数式的值。

18. 难度：中等

如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120°，BD=CD，∠MDN=60°求△AMN的周长．

19. 难度：困难

如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的弦，过O点作OD⊥BC，交⊙O的切线CD于点D，交⊙O于点E，连接AC、AE，且AE与BC交于点F．

（1）连接BD，求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．

20. 难度：困难

已知点A是双曲线 （k₁＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线（k₂＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．

（1）当m＝4时，求△ACD的面积（用含k₁、k₂的代数式表示）；

（2）若点E恰好在双曲线（k₁＞0）上，求m的值；

（3）设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当点D的坐标为D（2，0）时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k₁的值，并直接写出线段CF的长．

21. 难度：困难

定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量。如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）

⑴作两个相邻的正方形(如图一)。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑶作个相邻的正方形(如图三)排开。以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值；

⑷作个相邻的正方形(如图四)排开。以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值。

             

22. 难度：中等

边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x²-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。

23. 难度：困难

某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，……，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围。

24. 难度：困难

已知二次函数的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=．

（1）求二次函数的解析式；

（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；

（3）是否存在实数、（），当时，y的取值范围为？若存在，直接写在、的值；若不存在，说明理由．