北京市西城区2019届九年级统一测试（一模）数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 难度：中等

实数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：中等

方程组的解为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 难度：简单

如图，点在的延长线上，.若，，则的度数为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 难度：中等

广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（    ）

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

6. 难度：中等

如果，那么代数式的值为（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

7. 难度：中等

中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”。除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧。三段圆弧围成的曲边三角形。图2是等宽的勒洛三角形和圆。

下列说法中错误的是

A. 勒洛三角形是轴对称图形

B. 图1中，点A到上任意一点的距离都相等

C. 图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF的中心的距离都相等

D. 图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等

二、填空题

8. 难度：简单

如图，在线段AD， AE， AF中，△ABC的高是线段________.

9. 难度：简单

式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．

10. 难度：中等

分解因式：____________.

11. 难度：中等

如图，点都在正方形网格的格点上，将绕点顺时针旋转后得到，点的对应点也在格点上，则旋转角的度数为：___________.

12. 难度：简单

用一组的值说明命题“对于非零实数，若，则”是错误的，这组值可以是______，_____.

13. 难度：中等

如图，在矩形中，点在边上，将矩形沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处.若DE=5，FC=4，则的长为___________.

14. 难度：中等

小芸一家计划去某城市旅行，需要做自由行的攻略，父母给她分配了一项任务：借助网络评价选取该城市的一家餐厅用餐.小芸根据家人的喜好，选择了甲、乙、丙三家餐厅，对每家餐厅随机选取了1000条网络评价，统计如下：

评价条数    等级 餐厅	五星	四星	三星	二星	一星	合计
甲	538	210	96	129	27	1000
乙	460	187	154	169	30	1000
丙	486	388	81	13	32	1000

（说明：网上对于餐厅的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一星.）小芸选择在________（填"甲”、“乙"或“丙”）餐厅用餐，能获得良好用餐体验（即评价不低于四星）的可能性最大.

15. 难度：中等

高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量分别都是不变的.同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下：

收费出口编号
通过小客车数量（辆）	260	330	300	360	240

在五个收费出口中，每20分钟通过小客车数量最多的一个出口的编号是___________.

三、解答题

16. 难度：中等

计算：

17. 难度：中等

解不等式组:

18. 难度：中等

下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为”的尺规作图过程.

已知：.求作：矩形，使得矩形内接于，且其对角线的夹角为.

作法：如图，

①作的直径；

②以点为圆心，长为半径画弧，交直线上方的圆弧于点；

③连接并延长交于点；

④连接.

所以四边形就是所求作的矩形,根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）.

（2）完成下面的证明.

证明：∵点都在上，

∴.

同理.

∴四边形是平行四边形.

∵是的直径，

∴（           ）（填推理的依据）.

∴四边形是矩形.

∵        ，

∴.

∴四边形是所求作的矩形.

19. 难度：中等

已知关于的一元二次方程.

（1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况，

（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的的值，并求此时方程的根.

20. 难度：中等

如图，在△ABC中，AC=BC，点D， E， F分别是AB，AC， BC的中点，连接DE，DF.

(1)求证:四边形DFCE是菱形；

(2)若∠A=75°，AC=4，求菱形DFCE的面积.

21. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B，与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（1，n）．

（1）求k的值；

（2）求反比例函数的解析式；

（3）过x轴上的点D（a，0）作平行于y轴的直线l（a＞1），分别与直线AB和双曲线y=交于点P、Q，且PQ=2QD，求点D的坐标．

22. 难度：中等

如图，是的直径，与相切于点.点在上，且，连接交于点，过点作于点，交于点，交于点.

（1）求证：；

（2）连接，若，求的长.

23. 难度：困难

在如图所示的半圆中，P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y₁cm，A，C两点间的距离为y₂cm．

小聪根据学习函数的经验，分别对函数y₁，y₂随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小聪的探究过程，请补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y₁，y₂与x的几组对应值；

x/cm	0	1	2	3	4	5	6
y1/cm	0	2.24	2.83		2.83	2.24	0
y2/cm	0	2.45	3.46	4.24	4.90	5.48	6

（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y₁），（x，y₂），并画出函数y₁，y₂的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为        cm．

24. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；

（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂），若x₁＜2，x₂＞2，x₁+x₂＞4，试判断y₁与y₂的大小，并说明理由．

25. 难度：中等

如图，在中，. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，是边上的一动点，连接交于点，连接. 

（1）求证：；

（2）点在边上，且，连接交于点. 

①判断与的位置关系，并证明你的结论；②连接，若，请直接写出线段长度的最小值.

26. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．

（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P₁（0，4），P₂（0，1），P₃（0，-3），P₄（4，0）这四个点中，独立于的点是        ；

（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x_p的取值范围；

（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．