四川省自贡市三校联考2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

用配方法解方程：，下列配方正确的是（     ）

A.  B.  C.  D.

3. 难度：中等

若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A.k＞ B.k≥ C.k＞且k≠1 D.k≥且k≠1

4. 难度：中等

将抛物线y＝2（x﹣4）²﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（　　）

A.y＝2x²+1 B.y＝2x²﹣3

C.y＝2（x﹣8）²+1 D.y＝2（x﹣8）²﹣3

5. 难度：简单

下列语句中不正确的有（   ）

①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ； ④长度相等的两条弧是等弧

A. 3个    B. 2个    C. 1个    D. 4个

6. 难度：中等

如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m²，求道路的宽． 如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（　　）

A.（32+x）（20+x）=540 B.（32﹣x）（20﹣x）=540

C.（32+x）（20﹣x）=540 D.（32﹣x）（20+x）=54

7. 难度：中等

如图，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转到△ADE的位置．若AC⊥DE，∠ABD＝62°，则∠ACB的度数为（　　）

A.56° B.44° C.34° D.40°

8. 难度：中等

如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1，AB=10，那么直径CD的长为（ ）

A.12.5 B.13 C.25 D.26

9. 难度：中等

如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为

A.（3，2） B.（3，3） C.（3，4） D.（3，1）

10. 难度：困难

如图正方形ABCD的边长为2，点E，F，G，H分别在AD，AB，BC，CD上，且EA=FB=GC=HD，分别将△AEF，△BFG，△CGH，△DHE沿EF，FG，GH，HE翻折，得四边形MNKP，设AE=x（0＜x＜1），S_{四边形MNKP}=y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A. B. C. D.

二、填空题

11. 难度：简单

在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m²下降到12月份的5670元/m²，则11、12两月平均每月降价的百分率是_____．

12. 难度：简单

已知点A（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是_____．

13. 难度：简单

如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax²+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax²+bx+c的解集是____．

14. 难度：中等

已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，则AC的长度为_____．

三、解答题

15. 难度：中等

解方程．

（1）2x²﹣6x﹣1＝0；

（2）2y（y+2）﹣y＝2．

16. 难度：简单

如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，弧AE=弧BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．

17. 难度：困难

如图，在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，

(1)将△AOB向右平移4个单位长度得到△A₁O₁B₁，请画出△A₁O₁B₁；

(2)以点A为对称中心，请画出△ AOB关于点A成中心对称的△ A O₂ B₂，并写点B₂的坐标；

(3)以原点O为旋转中心，请画出把△AOB按顺时针旋转90°的图形△A₂ O B₃．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程（a+c）x²+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

19. 难度：困难

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A₁BC₁，A₁B交AC于点E，A₁C₁分别交AC、BC于D、F两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC₁DA的形状，并说明理由．

20. 难度：中等

如图，已知抛物线y＝ax²+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．

（1）求该抛物线和直线BC的解析式；

（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；

（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．

四、填空题

21. 难度：简单

若实数满足，，则________．

22. 难度：中等

关于x的一元二次方程kx²﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．

23. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线上运动，过点A作轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为______．

24. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______

25. 难度：中等

已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：

①abc＜0；②b＜a＋c；③4a＋2b+c>0；④2c＜3b；⑤a＋b＜m (am＋b)（m≠1的实数）．

其中正确结论的序号有　   　．

五、解答题

26. 难度：中等

某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

（1）求与之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为（元），则当售价定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由.

27. 难度：困难

关于x的一元二次方程x²﹣（m﹣3）x﹣m²=0．

（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设这个方程的两个实数根为x₁，x₂，且|x₁|=|x₂|﹣2，求m的值及方程的根．

28. 难度：困难

如图，直线y＝﹣2x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+x+c经过B、C两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？

(3)在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．