北京市2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：中等

“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

抛物线的顶点坐标是（    ）

A. （1，3） B. （－1，3） C. （－1，－3） D. （1，－3）

3. 难度：简单

将函数y=3x²的图象如何变换可以得到抛物线y=3(x+1)²－4的图象(     )

A.先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度

B.先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度

C.先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度

D.先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度

4. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（　　）

A. 34° B. 46° C. 56° D. 66°

5. 难度：中等

如图,以点P为圆心作圆，所得的圆与直线l相切的是(  )

A.以PA为半径的圆 B.以PB为半径的圆

C.以PC为半径的圆 D.以PD为半径的圆

6. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从出发，绕点O顺时针旋转一周，则点A不经过（    ）

A.点M B.点N C.点P D.点Q

7. 难度：中等

下列关于二次函数的说法错误的是(     )

A.二次函数y=(x+2)²－2的顶点坐标是(－2,－2)

B.抛物线y=－x² +2x+1，当x<0时y随x的增大而增大

C.函数y= 2x² + 4x－3的图象的最低点坐标为(－1,－5)

D.点A(3,0)不在抛物线y=x²－2x－3的图象上

8. 难度：中等

城市中“打车难”一直是人们关注的一个社会热点问题.近几年来，“互联网＋”战略与传统出租车行业深度融合，“优步”、“滴滴出行”等打车软件就是其中典型的应用，名为“数据包络分析”（简称DEA）的一种效率评价方法，可以很好地优化出租车资源配置，为了解出租车资源的“供需匹配”，北京、上海等城市对每天24个时段的DEA值进行调查，调查发现，DEA值越大，说明匹配度越好.在某一段时间内，北京的DEA值y与时刻t的关系近似满足函数关系（a，b，c是常数，且≠0），如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，当“供需匹配”程度最好时，最接近的时刻t是（    ）

A. 4.8 B. 5 C. 5.2 D. 5.5

二、填空题

9. 难度：中等

如图，在⊙O中，弦AB=8，过O作OC⊥AB于C，若OC=3，则圆的半径r=_____．

10. 难度：中等

如图，四边形内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为________．

11. 难度：中等

抛物线y=x² +1关于x轴对称的抛物线的解析式为___________.

12. 难度：中等

如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=15°，则∠P的度数为_____．

13. 难度：中等

如图，抛物线y=ax²+bx与直线y=mx+n相交于点A(－3,－6)，点B(1,－2)，则关于x的不等式ax²+bx<mx+n的解集为___________.

14. 难度：中等

有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同. 三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表:

房间A	房间B	房间C		涂料1	涂料2	涂料3
35m^2	20m^2	28m^2	16元/m^2	18元/m^2	20元/m^2

那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是___________元.

15. 难度：中等

如图所示的网格是正方形网格，线段AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）后与⊙O相切，则α的值为_____．

16. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB=2,∠ADB=45°. 求⊙O半径的长.

18. 难度：中等

如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．

（1）求证：∠AEB=∠ADC；

（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．

19. 难度：中等

下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.

求作：过点P的⊙O的切线．

作法：如图，

①作射线OP；

②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；

③连接并延长BA与⊙A交于点C；

④作直线PC；

则直线PC即为所求．

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：∵ BC是⊙A的直径，

∴∠BPC=90°（____________）（填推理的依据）．

∴OP⊥PC．

又∵OP是⊙O的半径，

∴PC是⊙O的切线（____________）（填推理的依据）．

20. 难度：中等

已知二次函数.

（1）用配方法将二次函数的表达式化为的形式；

（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质.

21. 难度：中等

如图，点A的坐标为(3, 2)，点B的坐标为(3, 0). 作如下操作:①以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转90°，得到△ACD;

(1)在图中画出△ACD;

(2)①请直接写点B旋转到点C的路径长:____________；

②画出△ABO关于点O的中心对称图形△EOF.

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C₁：y＝﹣x²+2x．

（1）补全表格：

抛物线	顶点坐标	与x轴交点坐标	与y轴交点坐标
y＝﹣x^2+2x	（1，1）			（0，0）

（2）将抛物线C₁向上平移3个单位得到抛物线C₂，请画出抛物线C₁，C₂，并直接回答：抛物线C₂与x轴的两交点之间的距离是抛物线C₁与x轴的两交点之间距离的多少倍．

23. 难度：中等

体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为6m时，达到最大高度5m的B处（如图），问该男生把实心球扔出多远？（结果保留根号）

24. 难度：中等

如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是半⊙O的切线；

（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．

25. 难度：中等

数学课上学习了圆周角的概念和性质：“顶点在圆上，两边与圆相交”，“同弧所对的圆周角相等”，小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整：

定义概念：

顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角，顶点在圆内，两边与圆相交的角叫做圆内角．如图1，∠M为所对的一个圆外角．

（1）请在图2中画出所对的一个圆内角；

提出猜想：

（2）通过多次画图、测量，获得了两个猜想：一条弧所对的圆外角　   　这条弧所对的圆周角；一条弧所对的圆内角　   　这条弧所对的圆周角；（填“大于”、“等于”或“小于”）

推理证明：

（3）利用图1或图2，在以上两个猜想中任选一个进行证明；

问题解决：

经过证明后，上述两个猜想都是正确的，继续探究发现，还可以解决下面的问题．

（4）如图3，F，H是∠CDE的边DC上两点，在边DE上找一点P使得∠FPH最大．请简述如何确定点P的位置．（写出思路即可，不要求写出作法和画图）

26. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx²－2mx +m－4 (m≠0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(B在点C左侧)，与y轴交于点D.

(1)求点A的坐标;

(2)若BC=4,

①求抛物线的解析式;

②将抛物线在C,D之间的部分记为图象G (包含C,D两点) . 若过点A的直线y= kx+ b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.

27. 难度：困难

已知△ACB中，∠C=90°，以点A为中心，分别将线段AB, AC 逆时针旋转60°得到线段AD, AE,连接DE，延长DE交CB于点F.

(1)如图1，若∠B=30°，∠CFE的度数为_________；

(2)如图2，当30°<∠B<60°时，

①依题意补全图2;

②猜想CF与AC的数量关系，并加以证明.

28. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C 的关联整点. 

（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是        ；

（2）若直线上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；

（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围.