山东省青岛市局属四校2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

方程x²=x的解是（　　）

A.x=1 B.x=0 C.x₁=1，x₂=0 D.x₁=﹣1，x₂=0

2. 难度：中等

如图，中，对角线，相交于点，添加下列条件不能判定是菱形的是（    ）

A. B. C. D.

3. 难度：中等

随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）

A.10（1+x）²=16.9 B.10（1+2x）=16.9 C.10（1﹣x）²=16.9 D.10（1﹣2x）=16.9

4. 难度：简单

在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被3整除的概率为（　　）

A. B. C. D.

5. 难度：简单

如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝3AD，BC＝12，则DE的长是（　　）

A.3 B.4 C.5 D.6

6. 难度：中等

如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC＝，则△ABC移动的距离是(   )

A. B. C. D.﹣

7. 难度：中等

一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　)

A.  B.  C.  D.

8. 难度：中等

如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH²＝HE•HB．正确结论的个数为（　　）

A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题

9. 难度：简单

若一元二次方程ax²﹣bx﹣2019＝0有一个根为x＝﹣1，则a+b＝_____．

10. 难度：中等

设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________.

11. 难度：中等

若点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB＝8cm，则AC＝_____．

12. 难度：简单

一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的10个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中红球的个数，采用了如下的方法：先把口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了1000次，其中有200次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约为_____．

13. 难度：中等

经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为_____．

14. 难度：中等

如图，为了测量一棵树CD的高度，测量者在B处立了一根高为2.5m的标杆，观测者从E处可以看到杆顶A，树顶C在同一条直线上，若测得BD＝7m，FB＝3m，EF＝1.6m，则树高为_____m．

15. 难度：中等

如图，将一张长方形纸板的四个角上分别剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉的部分），剩余的部分可以折成一个有盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．若长方形纸板边长分别为40cm和30cm，且折成的长方体盒子表面积是950cm²，此时长方体盒子的体积为_____cm³．

16. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，且OA=2，OC=1．在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A₁OC₁B₁，再将矩形A₁OC₁B₁以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A₂OC₂B₂…，以此类推，得到的矩形A_nOC_nB_n的对角线交点的坐标为_____．

三、解答题

17. 难度：中等

用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：线段a和∠α．

求作：菱形ABCD，使菱形ABCD的边长为a，其中一个内角等于∠α．

18. 难度：中等

用指定方法解方程：

（1）2x²+4x﹣3＝0（配方法解）

（2）5x²﹣8x＝﹣2（公式法解）

19. 难度：简单

第一盒中有2个白球、1个红球，第二盒中有1个白球、2个红球，这些球除颜色外无其他差别．分别从每个盒中随机取出1个球，求取出的2个球中有1个白球、1个红球的概率．请通过列表格或画树状图，说明理由．

20. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．

EF与BD相交于点M．

（1）求证：△EDM∽△FBM；

（2）若DB=9，求BM．

21. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且2x₁x₂+x₁+x₂≥20，求m的取值范围．

22. 难度：中等

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边AB上一点，延长AD至F使DF＝BE，连接CF．

（1）求证：∠BCE＝∠DCF；

（2）过点E作EG∥CF，过点F作FG∥CE，问四边形CEGF是什么特殊的四边形，并证明．

23. 难度：中等

某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？

24. 难度：中等

（阅读资料）

同学们，我们学过用配方法解一元二次方程，也可用配方法求代数式的最值．

（1）求4x²+16x+19的最小值．

【解析】
4x²+16x+19＝4x²+16x+16+3＝4（x+2）²+3

因（x+2）²大于等于0，所以4x²+16x+19大于等于3，即4x²+16x+19的最小值是3．此时，x＝﹣2

（2）求﹣m²﹣m+2的最大值

【解析】
﹣m²﹣m+2＝﹣（m²+m）+2＝﹣

因大于等于0，所以﹣小于等于0，所以﹣

小于等于，即﹣m²﹣m+2的最大值是，此时，m＝﹣．

（探索发现）

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大．下面给出了未写完的证明，请你阅读下面的证明并写出余下的证明部分，并求出矩形的最大面积与原三角形面积的比值．

【解析】
在AC上任取点E，作ED⊥BC，EF⊥AB，得到矩形BDEF．设EF＝x

易证△AEF∽△ACB，则，，，…

请你写出剩余部分

（拓展应用）

如图②，在△ABC中，BC＝a，BC边上的高AD＝h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为　   　．（用含a，h的代数式表示）

（灵活应用）

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB＝32，BC＝40，AE＝20，CD＝16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），该矩形的面积为　   　．（直接写出答案）

（实际应用）

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB＝70cm，BC＝108cm，CD＝76cm，且∠B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，该矩形的面积为　   　．（直接写出答案）

25. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD为对角线．点P从点B出发，沿线段BA向点A运动，点Q从点D出发，沿线段DB向点B运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到A时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）是否存在某一时刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

（2）设四边形BPQC的面积为S，求S与t之间的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻t，使得S_{四边形BPQC}：S_矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．

（4）是否存在某一时刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．