湖北省孝感市安陆市2019-2020学年九年级2019-2020学年期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

2. 难度：中等

下列对二次函数y=x²﹣x的图象的描述，正确的是（　　）

A.开口向下 B.对称轴是y轴

C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的

3. 难度：简单

是关于的一元二次方程的解，则（  ）

A. B. C. D.

4. 难度：简单

将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）.

A. ； B. ；

C. ； D. .

5. 难度：中等

如图，将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转β（0°＜β＜90°）得到AF，连结EF．若AC＝2，BC＝3，且α+β＝∠B，则EF＝（　　）

A.5 B. C. D.

6. 难度：中等

已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（    ）

A. 存在实数k，使得为等腰三角形

B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60°

C. 任意实数k，使得都为直角三角形

D. 存在实数k，使得为等边三角形

7. 难度：简单

扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　）

A. B.

C. D.

8. 难度：中等

已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（　　）

A.  B.  C.  D.

9. 难度：简单

如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 难度：简单

若二次函数y=|a|x²+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y₁)、C(3－m,n)、D(, y₂)、E(2,y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系是(   ).

A. y₁< y₂< y₃ B. y₁ < y₃< y₂ C. y₃< y₂< y₁ D. y₂< y₃< y₁

二、填空题

11. 难度：中等

一元二次方程的根是_____．

12. 难度：中等

一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为______.

13. 难度：中等

一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y=-，当水面离桥拱顶的高度OC是4m时，水面的宽度AB为______m．

14. 难度：困难

若方程x²﹣kx+6=0的两根分别比方程x²+kx+6=0的两根大5，则k的值是______．

15. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90°而得，则AC所在直线的解析式是____.

16. 难度：中等

如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②的周长为；③ ；④的面积的最大值.其中正确的结论是____.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：简单

解方程：x²+x﹣1＝0．

18. 难度：简单

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．

（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A₁，点B的对应点为点B₁，请画出平移后的线段A₁B₁；

（2）将线段A₁B₁绕点A₁按逆时针方向旋转90°，点B₁的对应点为点B₂，请画出旋转后的线段A₁B₂；

（3）连接AB₂、BB₂，求△ABB₂的面积．

19. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围；

（2）把点B向上平移m个单位得点B₁．若点B₁向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B₂重合；若点B₁向左平移(n＋6)个单位，将与该二次函数图象上的点B₃重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．

20. 难度：简单

为建设美丽的城市，某企业逐年增加对环境的经费投入．2014年投入200万元，2016年投入288万元．

（1）求2014年至2016年该单位环保经费的年平均增长率；

（2）该单位预计2017年投入经费320万元，若想继续保持前两年的年平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由．

21. 难度：简单

已知关于x的一元二次方程x²﹣3x﹣k²+k+1＝0．

（1）证明：原方程有两个不相等的实数根；

（2）若原方程的两实根分别为x₁，x₂，且（x₁﹣x₂+2）（x₁﹣x₂﹣2）＝﹣3，求k的值．

22. 难度：中等

某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表：

售价（元/件）	50	60	80
周销售量（件）	100	80	40
周销售利润（元）	1000	1600	1600

注：周销售利润＝周销售量×（售价－进价）

（1）①求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

②该商品进价是_________元/件；当售价是________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元

（2）由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求的值

23. 难度：困难

（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①线段DB和DG的数量关系是　   　；

②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．

（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．

①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；

②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．

24. 难度：中等

已知抛物y=ax²+bx+c(b<0)与轴只有一个公共点.

(1)若公共点坐标为(2，0)，求a、c满足的关系式；

(2)设A为抛物线上的一定点，直线l：y=kx+1－k与抛物线交于点B、C两点，直线BD垂直于直线y=－1,垂足为点D.当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在 y轴上，且△ABC为等腰直角三角形.

①求点A的坐标和抛物线的解析式；

②证明：对于每个给定的实数 k，都有A、D、C三点共线.