北京市2019-2020学年九年级上学期12月月考数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

下列“数字图形”中，不是中心对称图形的是（　　）

A. B. C. D.

2. 难度：简单

如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是　　

A.1：16 B.1：6 C.1：4 D.1：2

3. 难度：中等

如图，在平行四边形中，是的中点交于点,那么与的比是(   )

A. B. C. D.

4. 难度：中等

抛物线在同一直角坐标系内，则它们（   ）

A.都关于轴对称 B.开口方向相同

C.都经过原点 D.互相可以通过平移得到

5. 难度：中等

如图，点的坐标为，为坐标原点，将绕点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是(   )

A. B. C. D.

6. 难度：简单

如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（　　）

A. 12.5寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸

7. 难度：中等

已知抛物线y＝ax²+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	3	0	﹣1	m	3	…

①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限

上述结论中正确的是（　　）

A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③

8. 难度：简单

如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上

二、填空题

9. 难度：简单

如图，在中，，若，则的长为_______.

10. 难度：简单

如果， 那么______.

11. 难度：简单

如图，现有测试距离为5m的一张视力表，表上一个E的高AB为2cm，要制作测试距离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD为____cm．

12. 难度：简单

如图，在中，弦，点是圆上一点，且,则的半径_____．

13. 难度：中等

如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．

14. 难度：简单

已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax²+bx+c＝0的两个根分别是x₁＝1.3和x₂＝_____．

15. 难度：简单

如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点为位似中心的位似图形，且, 如果点，那么点的坐标为_______．

16. 难度：中等

如图，已知点是矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点都在边上，若，则______．

三、解答题

17. 难度：简单

计算:.

18. 难度：中等

已知:如图，在中，，垂足为,若.求的长.

19. 难度：中等

如图,在矩形中,，点在上，将矩形沿折叠,点恰好落在边.上的点处,求的值.

20. 难度：中等

如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到，连接.求证:.

21. 难度：中等

如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，

（1）求⊙O的半径；

（2）求O到弦BC的距离．

22. 难度：中等

体育场主席台侧面如图，若顶棚顶端与看台底端连线和地面垂直，测得看台的长为米，.

    

(1)求看台高的长;

(2)求顶棚顶端到地面的距离的长. (取)

23. 难度：中等

运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示．

t（s）	0	0.5	1	1.5	2	…
h（m）	0	8.75	15	18.75	20	…

（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；

（2）求小球飞行3s时的高度；

（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由．

24. 难度：中等

如图，是的直径，是上一点，连接，过点作的切线，交的延长线于点，在上取一点，使，连接，交于点，请补全图形并解决下面的问题：

（1）求证：；

（2）如果，，求的长.

25. 难度：中等

小明利用函数与不等式的关系，对形如 (为正整数)的不等式的解法进行了探究.

(1)下面是小明的探究过程，请补充完整:

①对于不等式，观察函数的图象可以得到如下表格:

的范围
的符号

由表格可知不等式的解集为.

②对于不等式，观察函数的图象可得到如下表格:

的范围
的符号

由表格可知不等式的解集为        .

③对于不等式,请根据已描出的点画出函数的图象;

观察函数的图象,

补全下面的表格:

的范围
的符号

由表格可知不等式的解集为          .

小明将上述探究过程总结如下:对于解形如 (为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集.

(2)请你参考小明的方法，解决下列问题:

①不等式的解集为        .

②不等式的解集为      .

26. 难度：困难

在平面直角坐标系xOy中，抛物线M：y＝ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），且顶点坐标为B（0，1）．

（1）求抛物线M的函数表达式；

（2）设F（t，0）为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M₁．

①抛物线M₁的顶点B₁的坐标为　   　；

②当抛物线M₁与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围．

27. 难度：困难

如图乙，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线BD，CE的交点．

如图甲，将绕点A 旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是______．

若，，把绕点A旋转，

当时，求PB的长；

求旋转过程中线段PB长的最大值．

28. 难度：困难

对于平面直角坐标系中的点和,给出如下定义:连接交于点,若点关于点的对称点在的内部，则称点是的外称点.

(1)当的半径为时，

①在点中，的外称点是        ；

②若点为的外称点，且线段交于点，求的取值范围;

(2)直线过点， 与轴交于点. 的圆心为, 半径为若线段上的所有点都是的外称点，请直接写出的取值范围.